Es que hay algún teorema que hace una declaración acerca de la orden de $2$ en el grupo multiplicativo de los números enteros modulo $n$ general $n>2$?
Respuestas
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Permítanme citar esta presentación de Carl Pomerance:
[...] el orden multiplicativo de a $2 \pmod n$ parece ser muy errática y difícil de conseguir.
La presentación describe, sin embargo, algunas propiedades de esta orden. Los hechos básicos ya han sido aclaradas por @HagenvonEitzen en su comentario.
Sam DeHority
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Como otros han señalado, esto no es trivial en absoluto. Hay un par de cosas que usted puede encontrar, Hagen von Eitzen señaló en los comentarios. He creado las siguientes parcelas para $n\in 1\ldots 1000,~~~~~ 1\ldots 10000, ~~~~~1\ldots 100000$.
Hay ciertas cosas en esta imagen que son fáciles de hacer sentido de, en particular, la línea más alta, que es$y = x-1$, y luego el otro prominente líneas para los pequeños divisores de $n-1$. Estoy intrigado por los pocos puntos que se encuentran entre el$n-1$$\frac{n-1}{2}$.
Los primeros elementos de este parecen ser las siguientes: $$9,25,27,81,121,125,169,243,361,625,729,841...$$
Que son todos los poderes de los números primos, lo cual tiene sentido. Esto es en realidad A108989, y estos son aquellos que no números primos $n$ para que el multiplicativo orden de $2$ modulo $n$$\phi(n)$.
También he contado el más común de los pedidos de la primera $1,000,000$ enteros impares y los primeros fueron: $$\{2, 155171\}, \{4, 108716\}, \{8, 73643\}, \{12, 67834\}, \{6, 57771\}, \{1, 55868\}, \{16, 46866\}, \{24, 45317\}, \{48, 31026\}, \{32, 23299\}, \{36, 20669\}, \{96, 16278\}, \{72, 15858\}, \{20, 14476\}, \{10, 13413\}$$
Vea lo que usted puede hacer eso, eso no está en la OEIS.
Álvaro Lozano-Robledo
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En general es difícil decir algo sobre la orden de un entero $a$ modulo $n$ (que $a\neq -1$ o un cuadrado perfecto) como $n$ varía. Usted puede estar interesado en leer acerca de Artin de la conjetura de raíces primitivas.
Esencialmente copiado y pegado desde el artículo de la wikipedia:
Por ejemplo, tome $a = 2$. La conjetura afirma que el conjunto de los números primos $p$ que $2$ es una raíz primitiva (es decir, los números primos tales que $2$ tiene el mayor número posible de fin de modulo $p$, $\text{ord}_p(2)= p-1$) tiene una densidad de $C_\text{Artin}=0.373955\ldots$. El conjunto de los números primos es (secuencia A001122 en OEIS) $$S(2) = \{3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, ...\}.$$ It has $38$ elementos menor que $500$ e hay $95$ de los números primos más pequeños que $500$. La relación de (que conjecturally tiende a $C_\text{Artin}$)$38/95 = 2/5 = 0.4$.
