Cálculo de un cierto flujo integral

Question

Vamos $$\Omega = \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 : \max(|x|_1, |x|_2, |x|_3) \leq 1\}$$ $$F_i(x) = \frac{x_i}{\|x\|^3}$$ y supongamos $\varphi(y)$ ser continuamente una función derivable de $y_i = x_i/\|x\|$, con $\varphi$ tener valor promedio $1$ sobre la unidad de la esfera.

Calcular $$\int_{\partial \Omega} \varphi F \cdot n \; dS$$

La solución que tengo es cero por el teorema de la divergencia. Pero esto no es lo que el manual de la solución, dice. Me equivoco, o es el manual de la solución de malo? Yo nunca uso la asunción el valor promedio de $\varphi$.

Answer 1

Si $\mathbf{F}(\mathbf{x})=\frac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|^3}$, $\mathrm{d}\sigma=\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}S$ es el diferencial de ángulo sólido. El ángulo sólido de la superficie de la integral de una función sobre un arbitraria de la región es entonces igual a la integral de superficie en la unidad de la esfera

$$\begin{align} \oint_{\partial\Omega}\phi\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} &=\oint_{\partial\Omega}\phi\,\mathrm{d}\sigma\\ &=\oint_{S_2}\phi\,\mathrm{d}\sigma\\ &=4\pi\cdot\frac{1}{4\pi}\oint_{S_2}\phi\,\mathrm{d}\sigma\\ &=4\pi, \end{align}$$

donde en la última línea, hemos utilizado la información que el valor promedio de $\phi$ sobre la unidad de la esfera es $\frac{1}{4\pi}\oint_{S_2}\phi\,\mathrm{d}\sigma=1$.