Durante este fin de semana pensé en una extensión de campo real (un álgebra sobre $\Bbb{R}$) salga similar a la de los números complejos que utiliza $j: j^3=-1$ en lugar de $i :i^2=-1$ y que se define como $$\Bbb{E}=\{x-yj+yj^2 : x, y\in\Bbb{R}\,\,\,\, \text{and}\,\,\,\, j^3=-1\}$ $ , con la suma y la multiplicación se define en la forma canónica.
La razón para definir estos números con este formulario es para cualquier $z=x-yj+yj^2\in\Bbb{E},$ el número definido por $\bar{z}=(x+y)+yj-yj^2\in\Bbb{E}$ actuar como el conjugado de a $z.$
Que es
1. $z+\bar{z}, z\bar{z}\in\Bbb{R}$ $\overline{\bar{z}}=z.$
2. $\overline{w+z}=\bar{w}+\bar{z}$
3. $\overline{w.z}=\bar{w}.\bar{z}$
Sin embargo $z\bar{z}=x^2+xy-2y^2=(x+y/2)^2-(3y/2)^2$ no es siempre positivo, como también para los números complejos.
También los candidatos obvios $0_{\Bbb{E}}=0-0.j+0.j^2$ $1_{\Bbb{E}}=1-0.j+0.j^2$ sirve como identidad aditiva y multiplicativa de identidad. Por lo tanto, $\Bbb{E}$ es una forma de un anillo conmutativo con identidad.
Si definimos la norma de estos números como $N(z)=\sqrt{|x^2+xy-2y^2|},$ donde $z=x-yj+yj^2,$ entonces es multiplicativo $N(wz)=N(w)N(z)$ y todos los números con cero norma se invertible con $z^{-1}=\overline{z}(N(z))^{-2}.$
Aquí tengo dos preguntas:
Alguien ha estudiado este Anillo antes?
(Si es así y si es posible, por favor me dan una referencia de ella).Fácilmente se puede identificar a $\Bbb{E}$ $\Bbb{R}^2$ $x-yj+yj^2\mapsto (x,y).$
Ahora la pregunta es; ¿hay alguna naturales geométricas explicación para $\Bbb{E}$?