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Una curiosa extensión de número real en el campo?

Durante este fin de semana pensé en una extensión de campo real (un álgebra sobre R) salga similar a la de los números complejos que utiliza j:j3=1 en lugar de i:i2=1 y que se define como $$\Bbb{E}=\{x-yj+yj^2 : x, y\in\Bbb{R}\,\,\,\, \text{and}\,\,\,\, j^3=-1\} , con la suma y la multiplicación se define en la forma canónica.

La razón para definir estos números con este formulario es para cualquier z=xyj+yj2E, el número definido por ˉz=(x+y)+yjyj2E actuar como el conjugado de a z.
Que es
1. z+ˉz,zˉzR ¯ˉz=z.
2. ¯w+z=ˉw+ˉz
3. ¯w.z=ˉw.ˉz

Sin embargo zˉz=x2+xy2y2=(x+y/2)2(3y/2)2 no es siempre positivo, como también para los números complejos.

También los candidatos obvios 0E=00.j+0.j2 1E=10.j+0.j2 sirve como identidad aditiva y multiplicativa de identidad. Por lo tanto, E es una forma de un anillo conmutativo con identidad.

Si definimos la norma de estos números como N(z)=|x2+xy2y2|, donde z=xyj+yj2, entonces es multiplicativo N(wz)=N(w)N(z) y todos los números con cero norma se invertible con z1=¯z(N(z))2.

Aquí tengo dos preguntas:

  1. Alguien ha estudiado este Anillo antes?
    (Si es así y si es posible, por favor me dan una referencia de ella).

  2. Fácilmente se puede identificar a E R2 xyj+yj2(x,y).
    Ahora la pregunta es; ¿hay alguna naturales geométricas explicación para E?

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Jeanne Holm Puntos 21

Este anillo se genera como un álgebra sobreRk=j2j, lo que satisface el mínimo ecuación polinómica (k+1)(k2)=0. Por lo tanto, esta es isomorfo a R2 bajo la única R-álgebra homomorphism que envía a j2j (1,2)[es decir, el envío de (x,y) en sus términos a(xy,x+2y)R2].

Su conjugación operación es la que intercambia los dos componentes de un elemento de R2.

(Análogos de esta presentación se podría hacer con cualquier par de valores distintos, no sólo a 12.)

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