Durante este fin de semana pensé en una extensión de campo real (un álgebra sobre R) salga similar a la de los números complejos que utiliza j:j3=−1 en lugar de i:i2=−1 y que se define como $$\Bbb{E}=\{x-yj+yj^2 : x, y\in\Bbb{R}\,\,\,\, \text{and}\,\,\,\, j^3=-1\} , con la suma y la multiplicación se define en la forma canónica.
La razón para definir estos números con este formulario es para cualquier z=x−yj+yj2∈E, el número definido por ˉz=(x+y)+yj−yj2∈E actuar como el conjugado de a z.
Que es
1. z+ˉz,zˉz∈R ¯ˉz=z.
2. ¯w+z=ˉw+ˉz
3. ¯w.z=ˉw.ˉz
Sin embargo zˉz=x2+xy−2y2=(x+y/2)2−(3y/2)2 no es siempre positivo, como también para los números complejos.
También los candidatos obvios 0E=0−0.j+0.j2 1E=1−0.j+0.j2 sirve como identidad aditiva y multiplicativa de identidad. Por lo tanto, E es una forma de un anillo conmutativo con identidad.
Si definimos la norma de estos números como N(z)=√|x2+xy−2y2|, donde z=x−yj+yj2, entonces es multiplicativo N(wz)=N(w)N(z) y todos los números con cero norma se invertible con z−1=¯z(N(z))−2.
Aquí tengo dos preguntas:
Alguien ha estudiado este Anillo antes?
(Si es así y si es posible, por favor me dan una referencia de ella).Fácilmente se puede identificar a E R2 x−yj+yj2↦(x,y).
Ahora la pregunta es; ¿hay alguna naturales geométricas explicación para E?