Una curiosa extensión de número real en el campo?

Question

Durante este fin de semana pensé en una extensión de campo real (un álgebra sobre $\Bbb{R}$) salga similar a la de los números complejos que utiliza $j: j^3=-1$ en lugar de $i :i^2=-1$ y que se define como $$\Bbb{E}=\{x-yj+yj^2 : x, y\in\Bbb{R}\,\,\,\, \text{and}\,\,\,\, j^3=-1\}$ $ , con la suma y la multiplicación se define en la forma canónica.

La razón para definir estos números con este formulario es para cualquier $z=x-yj+yj^2\in\Bbb{E},$ el número definido por $\bar{z}=(x+y)+yj-yj^2\in\Bbb{E}$ actuar como el conjugado de a $z.$
Que es
1. $z+\bar{z}, z\bar{z}\in\Bbb{R}$ $\overline{\bar{z}}=z.$
2. $\overline{w+z}=\bar{w}+\bar{z}$
3. $\overline{w.z}=\bar{w}.\bar{z}$

Sin embargo $z\bar{z}=x^2+xy-2y^2=(x+y/2)^2-(3y/2)^2$ no es siempre positivo, como también para los números complejos.

También los candidatos obvios $0_{\Bbb{E}}=0-0.j+0.j^2$ $1_{\Bbb{E}}=1-0.j+0.j^2$ sirve como identidad aditiva y multiplicativa de identidad. Por lo tanto, $\Bbb{E}$ es una forma de un anillo conmutativo con identidad.

Si definimos la norma de estos números como $N(z)=\sqrt{|x^2+xy-2y^2|},$ donde $z=x-yj+yj^2,$ entonces es multiplicativo $N(wz)=N(w)N(z)$ y todos los números con cero norma se invertible con $z^{-1}=\overline{z}(N(z))^{-2}.$

Aquí tengo dos preguntas:

1. Alguien ha estudiado este Anillo antes?
   (Si es así y si es posible, por favor me dan una referencia de ella).

2. Fácilmente se puede identificar a $\Bbb{E}$ $\Bbb{R}^2$ $x-yj+yj^2\mapsto (x,y).$
   Ahora la pregunta es; ¿hay alguna naturales geométricas explicación para $\Bbb{E}$?

Answer 1

Este anillo se genera como un álgebra sobre$\mathbb{R}$$k = j^2 - j$, lo que satisface el mínimo ecuación polinómica $(k + 1)(k - 2) = 0$. Por lo tanto, esta es isomorfo a $\mathbb{R}^2$ bajo la única $\mathbb{R}$-álgebra homomorphism que envía a $j^2 - j$ $(-1, 2)$[es decir, el envío de $(x, y)$ en sus términos a$(x - y, x + 2y)$$\mathbb{R}^2$].

Su conjugación operación es la que intercambia los dos componentes de un elemento de $\mathbb{R}^2$.

(Análogos de esta presentación se podría hacer con cualquier par de valores distintos, no sólo a $-1$$2$.)