La pregunta es para demostrar que si $T$ es normal, existe un operador unitario $U$ tal que $T^{*}=UT$. Mi conjetura es que utilizamos la descomposición polar de $T$- en un producto de la única y positiva operador - en cierta manera, pero no estoy seguro de cómo empezar.
Respuesta
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Sameer Parwani
Puntos
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Creo que lo he descubierto, después de todo.
Desde $T$ es normal, existe un operador unitario $V$ y un positivo operador $P$ tal que $T=VP$, y $P$, $V$ y $T$ conmuta con cada uno de los otros. $T=VP \Longrightarrow T^{*}=PV^{*}$.
$\Longrightarrow T^{*}V^{2}=PV^{*}VV=PV=T$ $\Longrightarrow T^{*}=T(V^{*})^{2}=(V^{*})^{2}T$
La última igualdad se sigue desde $VT=TV$ $T$ normal, por Fuglede-Putnam-Rosenblum, $VT^{*}=T^{*}V \Longrightarrow V^{*}T=TV^{*}$
Deje $U=(V^{*})^{2}$
A continuación, $U$ es unitaria y satisface $T^{*}=UT$
