No creo que Gödel del teorema de la incompletitud (mencionado en la pregunta) tiene mucho que ver con esto. No es necesario llegar a ninguna parte cerca de Gödel del teorema de la incompletitud saber que algunas afirmaciones son verdaderas en algunos modelos y falsa en otros. Por ejemplo, la existencia de inversos multiplicativos de los elementos distintos de a $0$ que es verdad en $\mathbb Z\bmod n$ si $n$ es primo, y false si $n$ es compuesto. Que se enseña en los cursos de graduación a los estudiantes que nunca han oído hablar de Gödel.
Uno puede poner medidas de probabilidad en espacios de modelos y, a continuación, pregunte acerca de la probabilidad de que un determinado enunciado es verdadero. Pero si es "natural" es claramente una pregunta mucho más difícil.
He aquí una pequeña resultado oí que dijo en una ocasión: digamos que usted tiene un primer orden de idiomas con un número finito de relación símbolos. Si uno se refiere a todas las clases de isomorfismo de modelos de tamaño finito $n$ como igualmente probables, entonces cada declaración en este idioma tiene alguna probabilidad de ser fiel en modelos de tamaño $n$. Y, a continuación, para cada declaración en la que se puede tomar un límite de $n\to\infty$. Un matemático que hablé afirmó haber publicado este resultado: en todos los casos el límite es $0$ o $1$. No recuerdo su nombre.
Nunca he escuchado de estos resultados para los modelos infinitos.
