Los conceptos clave con los intervalos de confianza son la cobertura, exactitud y precisión.
La cobertura de
La cobertura o el nivel de confianza debe ser explicadas en primer lugar. Es el porcentaje de veces que el intervalo aleatorio se espera que incluya el verdadero valor del parámetro.
La forma en que esta es la mejor muestra es tomar una probabilidad declaración sobre un pivote estadística y mostrar cómo la declaración se invierte para obtener un intervalo de confianza. Un ejemplo podría ser el de obtener un intervalo de confianza para la media de $\mu$ de una distribución normal cuando la varianza es conocida por ser $1$. Deje que la muestra se denota $X_i$, $i=1,2,\ldots,n$. Los estudiantes van a saber de cursos de pregrado o han sido enseñados anteriormente en este curso de postgrado que la media de la muestra $X_b=\sum X_i/n$ es normal con una media de $\mu$ y la varianza $1/n$. A continuación, la cantidad es fundamental
$$Z= \sqrt{n} (X_b - \mu)$$ and $Z$ has a $N(0,1)$ distribution. So of course $\Pr(|Z| \le 1.96) = 0.95$ (from a table of the standard normal distribution). You do the inversion to show that this probability is the same as $\Pr(X_b-1.96/\sqrt{n} \le \mu \le X_b+1.96/\sqrt{n})$. Entonces el intervalo aleatorio
$[X_b-1.96/\sqrt{n}, X_b+1.96/\sqrt{n}]$ es una receta para un intervalo de confianza 95% para $\mu$.
Debe quedar claro que si se repite un experimento muchas veces donde cada vez que se selecciona aleatoriamente $n$ observaciones de una $N(\mu, 1)$ la distribución, en cerca del 95% de los casos el intervalo contendrá $\mu$ y, por supuesto, esto también significa que en el restante aproximado de 5% de los casos $\mu$ se encuentran fuera del intervalo. Esto es cómo iba a explicar exactamente 95% de intervalo de confianza.
Ciertamente se podría utilizar algún otro ejemplo simple, tales como la estimación de la tasa parámetro de una distribución exponencial. La idea es construir una fundamental cantidad cuya distribución es conocida y es independiente de cualquiera de los parámetros desconocidos.
Para explicar la relación entre la cobertura y la confianza, sólo se puede señalar que si usted sustituido $1.645$ $1.96$ en el original de la probabilidad para la declaración de $Z$ se obtiene una probabilidad de $0.90$ y, por tanto, mediante la sustitución de $1.96$ $1.645$ en el intervalo de confianza de la prescripción desea obtener un 90% de intervalo de confianza. Esto también ilustra cómo la reducción de la cobertura aprieta el ancho del intervalo.
Precisión
Los otros dos conceptos importantes Efron llamadas de veracidad y de la corrección. Me gusta el uso de la terminología. Nos fijamos en los ejemplos exacta de los intervalos de confianza. Se precisa en el sentido de que la cobertura nominal de 95% es la cobertura exacta de la probabilidad. Pero a veces es conveniente el uso de teoría asintótica. En lugar de utilizar la distribución exacta de la fundamental de cantidad, se calcula una distribución que va a converger a medida que el tamaño de la muestra $n$ va al infinito. El uso de esta distribución asintótica, la cobertura de un anunciado 95% intervalo de confianza no será exacta para valores dados de $n$. Pero si la aproximación es buena, podemos decir que el intervalo de confianza aproximado es razonablemente precisa.
(Esto es importante en el proceso de arranque de la literatura para los intervalos de confianza, porque los intervalos de confianza bootstrap nunca son exactas y en algunas situaciones determinadas bootstrap variantes (por ejemplo, el método de BCa), para dar más exacta de los intervalos de los demás. El proceso de arranque de la teoría sobre el fin de la precisión fue desarrollado por Peter Hall y otros que define la precisión de la tasa en el intervalo de los enfoques de la publicidad de nivel de confianza ($n$ va al infinito. Los resultados implican el uso de Edgeworth expansiones y se pueden encontrar detallados en el Salón del libro de Bootstrap y de Expansión de Edgeworth.)
Corrección
Por último me gustaría hablar de la corrección. Para muchos de los problemas que hay varias maneras de construir intervalos de confianza exactos o asintótico de la cobertura de 95%. ¿Cómo podemos elegir entre ellos? Pues tendrán diferentes promedios. Exacto del intervalo de confianza que tiene el menor duración prevista es llamado correcta y es la óptima para elegir. Cuando existan y un eficiente estimador del parámetro existe, corregir los intervalos de confianza puede ser construido por la elección de un eficiente para estimar el parámetro.
