Definiciones equivalentes de Inyectiva Espacios de Banach

Question

Un espacio de Banach $X$ se dice inyectiva si para todos los espacios de Banach $W,Z$$W\subset Z$, y los operadores de $T\in B(W,X)$, $T$ puede ser extendido a todos los de $Z$ con la misma norma.

Equivalentemente, $X$ es inyectiva si no se complementan con una norma $1$ proyección en cualquier espacio de Banach que la contiene.

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En el etiquetado de la primera definición como $(1)$ y la segunda definición como $(2)$, la prueba de $(1)\Rightarrow (2)$ es breve.

Si $X\subset Y$ para un espacio de Banach $Y$, después de aplicar el $(1)$ para el mapa de identidad en $X$ los rendimientos de la proyección.

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El $(2)\Rightarrow (1)$ dirección que me han pegado un par de días. ¿Alguien puede ofrecer una pista? Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Usted puede isométricamente incrustar $X$ a $\ell^\infty(\Gamma)$ donde $\Gamma$ es de unos gigantescos conjunto de índices (por ejemplo, tomar cada punto de la unidad de la bola de $X^*$ como un índice).

Dado $T:W\to X$, piensa en ella como $T:W\to \ell^\infty(\Gamma)$, y la extendemos a $\widetilde T: Z\to \ell^\infty(\Gamma)$ la preservación de la norma (la forma especial de la norma en $\ell^\infty(\Gamma)$ ayudará.) A continuación, hacer lo que es obvio.