Límites en las raíces de los polinomios de

Question

Lo obligado es la que hay en las raíces de un polinomio, en términos de su grado y los coeficientes?

Considere el polinomio $p(x) = 3x^7 – 5x^3 + 42$. ¿Usted no está de acuerdo, sin hacer ningún cálculo, que uno de los millones de ($10^6$) no puede ser una raíz? Simplemente no estar de acuerdo con la pequeñez de los coeficientes y el bien behavedness de polinomios. Y sin embargo, yo no recuerdo nunca haber encontrado nada en la literatura que dio un salto en el valor absoluto de las raíces de un polinomio en términos de grado y los coeficientes del polinomio, pero estoy bastante seguro de que existen, y que simplemente me lo perdí, así que estoy marcado este un un de referencia de la solicitud.

Por cierto, durante mi post de una pregunta, cada vez, parece, hay perdida de gráficos en la pantalla, como si de otra pregunta o respuesta. Está pasando esto a alguien más?

Answer 1

Aquí está una primaria obligado. Deje $p(x) = x^n - a_{n-1} x^{n-1} - ... - a_0$. Si $|x| \ge 1$ $m \ge n$ implica $|x|^m \ge |x|^n$, por lo tanto, si $p(x) = 0$

$$|x|^n = \left| a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_0 \right| \le |x|^{n-1} \left( |a_{n-1}| + ... + |a_0| \right)$$

por lo tanto

$$|x| \le \text{max}(1, |a_{n-1}| + ... + |a_0|).$$

En su caso podemos hacerlo mucho mejor, debido a la cero los coeficientes: obtenemos

$$|x|^7 \le \text{max}(1, \frac{47}{3} |x|^3)$$

por lo tanto $|x|^4 \le \frac{47}{3} < 16$ o $|x| < 2$.

Una técnica útil en casos especiales es el de Gauss-Lucas teorema, y una técnica útil en casos generales es del teorema de Rouch.