Le pidió a un par de preguntas, así que voy a intentar tomar en orden.
¿Cuáles son los tipos (dominio y codominio) de $y$$j$?
Matemáticamente, creo que usted está en buena tierra para elegir cualquier dominio y codominio de $y$. El dominio de $j$ debe incluir el dominio de $y$, por supuesto, y no dependen directamente de la $x_1$ o $x_2$. El codominio debe ser coherente con $y$ en la medida en que tiene sentido agregar un tiempo derivado de la $y$ con un gradiente de $j$. A partir de una física punto de vista, en la mayoría de los casos esperan $y$ a ser una función del espacio y del tiempo. Más allá de que usted no tiene restricciones en general - a pesar de la física específica escenario puede implicar requisitos adicionales.
¿Cuál es la cuantificación: es decir, para cualquier y y j de esos tipos que satisfacen la ecuación diferencial, decimos que y y j la forma de una ley de conservación. --? O hacer y y j necesita tener otras dependencias así.
Sí, si satisfacen la ecuación, entonces se forma una ley de conservación. No creo que hay más a él que eso. Me gustaría aprovechar la ecuación para definir una ley de conservación.
También, si quieres dejar algún otro comentario con respecto a una dimensión de leyes de conservación -- por favor, no. Me encantaría aprender más.
Aquí son algunos de los variados hechos / conceptos, que se aplica más generalmente de 1D:
- Cada ley de la conservación corresponde a una simetría. Esto está estrechamente relacionado con el teorema de Noether, que puede consultar. Una "simetría" en este caso es más general que el de todos los días ejemplos como "simetría izquierda-derecha." Esto significa que de alguna ley de la física es no depender de algunos de identificación cantidad. Medidor de la invariancia de la electrodinámica es un ejemplo de este tipo más general de la simetría. La acción para la EM no cambia cuando usted hace un medidor de transformación.
- Otro similar pero diferente concepto es una restricción. Una restricción debe ser satisfecho en cada punto en el espacio y el tiempo. La conserva de la cantidad es sólo conservada en un plano más global (me gustaría decir "integral") sentido ya que cualquiera que sea la materia que está representado por su $y$ se le permitió trasladarse a otro lugar en el espacio - Esto simplemente no puede ser creada o destruida. El uso de EM de nuevo, $\nabla \cdot E = \rho/\epsilon_0$ es una restricción, ya que es satisfecha por todas partes y para todos los tiempos. Cada restricción (trivialmente) implica una cantidad conservada - En este caso $\partial_t (\nabla \cdot E - \rho/\epsilon_0) = 0$. Convierte a la notación de tu pregunta, en este caso $y = \nabla \cdot E - \rho/\epsilon_0$$j(y) = 0$.
