¿Qué tan mínimamente puedo cortar un sector de la torta para que quepa en una lata cuadrada de tamaño ligeramente inferior?

Question

En términos geométricos, ¿cuál es el número más pequeño $n$ de tal manera que un disco de radio unitario puede ser cortado en $n$ sectores que pueden ser reensamblados sin superponerse para encajar en un cuadrado de lado $2- \varepsilon $ donde $ \varepsilon >0$ es tan pequeño como quieras? La pregunta podría ser para cortes rectos arbitrarios, pero me gusta servir a mis invitados con piezas tradicionales en forma de sector.

Answer 1

Aquí hay una solución usando tres piezas:

$ \hspace {1.5in}$

Dos piezas tienen ángulo $ \pi - \alpha $ y uno tiene el ángulo $2\, \alpha\ ,$ para algunos pequeños $ \alpha $ $\;$ ( $ \alpha = \frac { \pi }{12}$ en el diagrama).

(¡Al final llegué allí después de empezar con una solución de 10 piezas!)

Answer 2

Con la configuración de John, el máximo valor posible de $ \varepsilon $ es aproximadamente $0.0291842223$ :

$ \hspace {1.5in}$

Las piezas tienen ángulos aproximadamente $228.8124035475^ \circ $ , $113.1341370910^ \circ $ y $18.0534593614^ \circ $ .

Note que las piezas grandes ya no están posicionadas simétricamente.

Answer 3

Al publicar esta pregunta, sólo sabía que se podía hacer para grandes $n$ . Desde entonces, encontré una manera de hacerlo (¡creo!) para $n=3$ : Cortar el disco en sectores de $248^ \circ $ , $104^ \circ $ y $8^ \circ $ (es posible que haya ligeras variaciones en estos números). Coloca el sector grande simétricamente en una esquina del cuadrado, con el recorte hacia la esquina opuesta, y coloca el sector medio simétricamente en el recorte de manera que la parte circular de su límite toque los dos bordes radiales rectos del sector grande. Sólo queda suficiente espacio para deslizar la astilla restante entre un borde recto del sector medio y el lado vecino del cuadrado. Espero que esto sea correcto, pero puede que haya calculado mal. Cualquier refutación sería estoicamente bienvenida. La confirmación es naturalmente bienvenida también.

$ \hspace {1.5in}$

Answer 4

Aquí hay una tercera configuración distinta de tres piezas, con los centros de los sectores en los vértices de un triángulo equilátero:

$ \hspace {1.5in}$

Todas las piezas tienen un ángulo mayor que $ \frac { \pi }{2}$ (los ángulos en el diagrama son $149.5^ \circ $ , $110^ \circ $ y $100.5^ \circ $ ).

Una solución con tres piezas congruentes no parece posible.