Una teoría con un (generalizada) de Dirac operador puede pasar a ser anómalo. Por ejemplo, el fantasma del sector de la bosonic cadena:
$$ S = \int d^2z [ b \partial c + c.c.]$$
tiene una gravedad de la anomalía que da lugar a un índice de 3, es decir, el número de $c$ cero modos supera el número de $b$ cero modos por 3. Por favor, consulte Friedan, Martinec y Schenker.
Ya podemos pensar en el fermión ruta integral de medida $\mathcal{D} \psi$ como producto de la Grassmann medidas de cada uno de sus modos de funcionamiento, en el caso de un cero modo, nos encontramos con una contribución de $d\psi_0$ en la ruta integral donde $\psi_0$ es el modo cero. Esto es debido a que el modo cero no aparece en la Berezin determinante Grasmann componente.
Desde el Grassmann integral de la modalidad zero es
$$\int d\psi_0 = 0$$
Mientras que, para los no-cero modos
$$\int \psi_i d\psi_i = 1, $$
la función de partición se desvanece a menos que inserte los operadores que tienen suficiente cero componentes de modo de obtener contribuciones de la forma:
$$\int \psi_0 d\psi_0 = 1,$$
para todas las cero modos. Hay restricciones en la selección de la inserción de los operadores, tales como BRST invariancia, pero una vez que estos operadores son los elegidos, que "empaparse" el cero y modos de permitir un nonvanishing función de partición.
Esto no es sólo un truco matemático para obtener un nonvanishing función de partición de algún modelo abstracto. Las funciones de partición con la inserción de los operadores debe realmente corresponden a los sistemas físicos.
Witten(página 39) utiliza inserciones en un Majorana fermión topológico superconductor modelo para evaluar su función de partición que puede ser entendido como una consecuencia de anomalías gravitacionales.
Hay muchas explicaciones de la interpretación física del operador inserciones:
El asintótica "fuera" vacío de un anómalo de la teoría tiene un cero en modo fantasma número de carga debida a la espectral de flujo. Por favor, consulte Friedan, Martinec y Shenker la página 111. Las inserciones acaba de expresar este hecho.
Puede ser la más profunda y la más clara explicación de que el operador de inserción está dada por Sonneschein:
El espacio vectorial de los cero modos puede ser pensado como un (geométrica) de la cuantización de un espacio de moduli $\mathcal{M}$. En el caso de un topológico de la teoría de campo, este espacio de moduli es la totalidad del espacio de fase del sistema, pero incluso si la teoría no es topológico, el cero modos de constituir un topológica del sector. El fermión cero modos la interpreta como la cotangente vectores en este espacio de moduli. Desde sólo $dim(\mathcal{M})$ rango formas tienen un nonvanishing integral sobre la $\mathcal{M}$, con lo que el índice dicta la dimensión de este espacio de moduli:
$$Index(D) = dim(\mathcal{M})$$
Desde que, en el camino de la integral, tenemos que integrar sobre todas las configuraciones posibles, con lo que tenemos que integrar en el espacio de moduli, por lo tanto tenemos que insertar un $dim(\mathcal{M})$ rango formulario.
