Si $p:(E,e_0) \to (X, x_0)$ se conecta simplemente a cubrir el espacio con el grupo de cubrir las transformaciones $G$$G \cong\pi_1(X,x_0)$.

Question

En este teorema, para demostrar que $\chi$ es sobre el que construir la función $\phi$ tal que $\chi(\phi)=[\sigma]$. Tienen que probar el $\phi \in G$, por lo que resultan $\phi$ es continua. Pero para poder llevar a $\phi \in G$ también necesitamos que se trata de un homeomorphism, pero no la prueban, y que incluso no mencionar que es fácil de probar. Tal vez es demasiado obvio, pero yo realmente no lo veo. Es muy obvio? He tratado de demostrar es sobre pero si me tome $\tilde{e} \in E$, no sé que $e \in E$ que debo tomar para que $\phi(e)=\tilde{e}$, $\tau'$ depende de a$e$, pero no en $\tilde{e}$, así que no sé cómo se relacionan $e$$\tilde{e}$.

También, cuando demuestran que $\phi$ es contiuous, solo utiliza el hecho de que $p \phi = p$, pero ellos no utilizan la definición de $\phi$. Eso no significa que cualquier $\gamma$ tal que $p \gamma = p$ es continua?

Answer 1

1. A ver que $\phi$ es un homeomorphism, la construcción de su inversa. (Puedo elaborar si quieres, pero espero que esto sea un buen empujón.)

2. A ver que $\chi$ a, vamos a $[\sigma] \in \pi_1(X,x_0)$. Entonces $\sigma$ levanta a una ruta de acceso en $E$, basado en el $e_0$,$e_0$$e_\sigma$, donde $e_\sigma$ es algún elemento de $p^{-1}(x_0)$.

   Entonces, ¿qué es $\phi$? Es necesario reorganizar los elementos de la $E$.

   Deje $e \in E$. A continuación, $\phi$ es el auto-mapa de $E$, lo que eleva el bucle de $\tau^{-1} \sigma \tau$ $X$ a un camino de $E$$e$, y luego la lleva al extremo. Es como en la situación anterior, en el que mostramos $e=e_0$.

3. Qué $p \gamma = p$ implican $\gamma$ es continua?

   Definitivamente no! Considerar el universal que cubre mapa de $p:\mathbb{R} \to S^1$ y $\gamma:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definido por la identidad en no enteros puntos, pero $n \mapsto n+1$ entero puntos. Observar que $p \gamma = p$, pero $\gamma$ está lejos de ser continua.

4. Entonces, ¿por qué es $\phi$ continua?

   Deje $e_1 \in E$. Hay un abrir pathwise conectado vecindario $U$ $p(e_1)$ que es uniformemente cubierto; deje $S_1$ denotar la hoja, la cual es asignada homeomorphically en $U$ $p$ y contiene $e_1$. Ahora si $e$$S_1$, podemos unir $e_1$ $e$por un camino de $\tau'$ que es en $S_1$. Ahora hacemos un mapa de la totalidad de la imagen por $\phi$, y se obtienen dos puntos de $\phi(e_1)$ $\phi(e)$ sentado en una hoja de $S_1'$. En particular, $\phi$ restringe a un bien definido mapa de $\phi |_{S_1}:S_1 \to S_1'$, pero aún mejor, tenemos una fórmula para esta restricción en términos de las restricciones de la $p$$S_1$$S_1'$, los cuales son homeomorphisms: $\phi|_{S_1}=(p |_{S_1'})^{-1}\circ p|_{S_1}$. En particular, $\phi$ es continua.

Déjeme saber si usted tiene alguna pregunta :)