Función totiente de Euler y clases de residuos

Question

He estado trabajando en una fórmula que parece ser una generalización de la Función Totiente de Euler y tengo varias preguntas:

1. He estado investigando en Internet y no encuentro esta función en ningún sitio. Supongo que probablemente esté en un formato diferente. ¿Puede alguien indicarme la dirección correcta?
2. Es bastante fácil demostrar la ecuación siguiente cuando $m$ y $n$ comparten los mismos factores primos ya que es equivalente a la Función Totiente de Euler. Alguna pista sobre cómo demostrar cuando $m$ y $n$ no comparten los mismos factores primos?

Dejemos que $R_n =\{ a|a \in \mathbb{Z}, 1\leqq a\leqq n,gcd(a,n)=1 \}$

Dejemos que $T_n =\{a_1,a_2,...,a_k,a_1+n,a_2+n,...,a_k+n\}$

Dejemos que $g_m(n)$ representan el número de elementos en $R_n$ tal que $a_k+m$ también existe en $T_n$ .

Dejemos que $n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}...p_k^{e_k}$ representan la factorización primaria de $n$ .

Afirmamos que $$g_m(n) = \prod_{p|n,p|m} p_k^{e-1}(p_k-1) \prod_{p|n,p|m\notin \mathbb{Z}} p_k^{e-1}(p_k-2) $$ donde $m$ es par y $m\leqq n$

Por ejemplo, dejemos que $n=20$ y $m=6$ . De ello se desprende que

$$R_{20} = \{1,3,7,9,11,13,17,19\}$$ $$T_{20}=\{1,3,7,9,11,13,17,19,21,23,27,29,31,33,37,39\}$$ $$g_6(20)=2^1*(2-1)*5^0*(5-2)=6$$ Los elementos de $g_6(20)$ son $1,3,7,11,13,17$

Answer 1

Dejemos que $n = \prod_{j=1}^J p_j^{e_j}$ y $$g_m(n) = \sum_{l=1}^n 1_{gcd(l,n)=gcd(l+m,n)=1}$$

Utilizar el CRT para descomponer $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \mathbb{Z}/p_1^{e_1}\mathbb{Z} \times \ldots \times \mathbb{Z}/p_j^{e_j}\mathbb{Z}, b_j \equiv 1 \bmod p_j^{e_j}, b_j \equiv 0 \bmod p_i^{e_i}$

$$g_m(n)= \prod_{j=1}^J \sum_{l_j=1}^{p_j^{e_j}} 1_{l= \sum_{i=1}^Jl_i b_i, gcd(l,p_j)=gcd(l+m,p_j)=1}= \prod_{j=1}^J \sum_{l_j=1}^{p_j^{e_j}} 1_{l= \sum_{i=1}^Jl_i b_i}\prod_{i=1}^J1_{gcd(l,p_i)=gcd(l+m,p_i)=1} $$ $$= \prod_{j=1}^J \sum_{l_j=1}^{p_j^{e_j}} \prod_{i=1}^J1_{gcd(l_i,p_i)=gcd(l_i+m,p_i)=1}=\prod_{j=1}^J \sum_{l_j=1}^{p_j^{e_j}} 1_{gcd(l_j,p_j)=gcd(l_j+m,p_j)=1}$$ $$=\prod_{j=1}^J p_j^{e_j-1} \sum_{l_j=1}^{p_j} 1_{gcd(l_j,p_j) = gcd(l_j+m,p_j)=1} = \prod_{j=1}^J p_j^{e_j-1} (p_j-1-1_{p_j \, \nmid\, m})$$ $$ = \prod_{p^e\| n, p | m} p^{e-1}(p-2)\prod_{p^e\| n, p \,\nmid\, m} p^{e-1}(p-1)$$