Puede $2^n$ $2^{n+1}$ tienen la misma suma de dígitos?

Question

Para $n\in\mathbb{N}^*$ nota: $s(n)$ la suma de los dígitos de $2^n$. Por ejemplo, $s(4)=7$ porque $2^4=16$. Es posible encontrar un número entero $n$ tal que $s(n)=s(n+1)$?

Answer 1

No, porque la suma de dígitos para $k$ es congruente a $k$ modulo 3, y $k$ $2k$ sólo son congruentes mod $3$ si $k$ es divisible por $3$.

Answer 2

No: $2 \equiv -1 \pmod 3$, lo $2^n \equiv (-1)^n \pmod 3$, y por lo tanto la secuencia de $\langle 2^n:n\in\mathbb{N}^*\rangle$ $\langle -1,1,-1,1,\dots\rangle$ cuando se reduce mod $3$.

Answer 3

SUGERENCIA $\ $ Más en general, así como en la fundición de nueves, echando $\rm\:b-1$'s en radix $\rm\:b\:$ podemos concluir que, si $\rm\ 2^{n+1}\:$ $\rm\:2^{n}\:$ tienen igual radix $\rm\:b\:$ dígitos sumas, a continuación, $\rm\: b-1\ |\ 2^{n+1}-2^n = 2^n\:,\:$ por lo tanto $\rm\:b = 2^k+1\:.$

Por ejemplo, en radix $5$ tenga en cuenta que $\ 2^2 = 4,\ 2^3 = 13,\ 2^4 = 31\:$ todos tienen suma de dígitos $\:= 4\:,\:$ y, del mismo modo, en radix $9\!:\ \:2^3 = 8,\ 2^4 = 17,\ 2^5 = 35,\ 2^6 = 71,\ 2^7 = 152\ $ todos tienen suma de dígitos $\:= 8\:.$

De manera más general, un resultado análogo al anterior sigue siendo cierto si reemplazamos $2$ por cualquier prime $\rm\:p\:$ tal que $\rm\: \gcd(p-1,b-1) = 1\:.$