¿Cómo encontrar la solución de esta ecuación diferencial de segundo orden con los coeficientes variables en el tiempo?

Question

¿Se ajusta esta ecuación diferencial de segundo orden con el coeficiente variable en el tiempo a alguna forma general?

$${d^2x(t)\over dt^2}+\Big(k_1+k_2\cos(\omega t)\Big){dx(t)\over dt}+\Big({1\over 1+k_\Delta \sin(\omega t)}+k_3 \cos(\omega t)\Big) x(t)=F(t)$$ Algunas propiedades de los coeficientes - $k_1$ y $k_2$ están en órdenes de magnitud similares y $k_\Delta<<1$ .

¿Cómo podemos encontrar una solución de este tipo?

Si no, ¿cómo podemos analizar las características de un sistema que se rige por esto? Por ejemplo, las condiciones de amortiguación cuando no tenemos ninguna excitación de entrada, es decir $F(t)=0$ o cuando tenemos una excitación armónica, es decir, $F(t)=A \sin(\omega_0 t)$ ?

Actualización 1

Entiendo que si podemos deshacernos del coeficiente en $x'$ (o eliminar la dependencia del tiempo), entonces la ecuación puede reducirse a una forma de la Ecuación de la colina . Ahora, estoy tratando de hacer una sustitución de variables que es similar a esta respuesta .

Actualización 2

Gracias por los comentarios y sugerencias hasta ahora.. Desde esta respuesta Entiendo que tener una forma cerrada de una solución sería realmente desafiante (o incluso imposible). Ahora, estoy tratando de hacer algunas simplificaciones y mi ecuación se puede reducir a $${d^2x(t)\over dt^2}+\Big(k_1+k_2\cos(\omega t)\Big){dx(t)\over dt}+k_3 x(t)=F(t)$$ Parece mucho más simple que la versión inicial, sin embargo, todavía no pude encontrar ninguna forma general similar a esta. Los solucionadores analíticos tampoco pudieron resolverlo.

Ahora, sólo me interesa analizar las características del comportamiento del sistema. Por ejemplo, puedo ver en las simulaciones numéricas que $x(t)$ tendrá unas oscilaciones crecientes (cercanas a la exponencial) cuando $k_2/k_1>\rm{a~threshold}$ y, por lo demás, oscilaciones estables. Pero no pude encontrar tal relación analíticamente.

Cualquier sugerencia para avanzar a partir de aquí es muy apreciada.

Answer 1

Una pista:

Para $\dfrac{d^2x}{dt^2}+(k_1+k_2\cos(\omega t))\dfrac{dx}{dt}+\left(\dfrac{1}{1+k_\Delta\sin(\omega t)}+k_3\cos(\omega t)\right)x=F(t)$ ,

Aplicar Sustitución de medio ángulo tangente :

Dejemos que $r=\tan\dfrac{\omega t}{2}$ ,

Entonces $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dx}{dr}\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{\omega}{2}\left(\sec^2\dfrac{\omega t}{2}\right)\dfrac{dx}{dr}=\dfrac{\omega(r^2+1)}{2}\dfrac{dx}{dr}$

$\dfrac{d^2x}{dt^2}=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\omega}{2}\left(\sec^2\dfrac{\omega t}{2}\right)\dfrac{dx}{dr}\right)=\dfrac{\omega}{2}\left(\sec^2\dfrac{\omega t}{2}\right)\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dx}{dr}\right)+\dfrac{\omega^2}{2}\left(\sec^2\dfrac{\omega t}{2}\tan\dfrac{\omega t}{2}\right)\dfrac{dx}{dr}=\dfrac{\omega}{2}\left(\sec^2\dfrac{\omega t}{2}\right)\dfrac{d}{dr}\left(\dfrac{dx}{dr}\right)\dfrac{dr}{dt}+\dfrac{\omega^2}{2}\left(\sec^2\dfrac{\omega t}{2}\tan\dfrac{\omega t}{2}\right)\dfrac{dx}{dr}=\dfrac{\omega}{2}\left(\sec^2\dfrac{\omega t}{2}\right)\dfrac{d^2x}{dr^2}\dfrac{\omega}{2}\sec^2\dfrac{\omega t}{2}+\dfrac{\omega^2}{2}\left(\sec^2\dfrac{\omega t}{2}\tan\dfrac{\omega t}{2}\right)\dfrac{dx}{dr}=\dfrac{\omega^2}{4}\left(\sec^4\dfrac{\omega t}{2}\right)\dfrac{d^2x}{dr^2}+\dfrac{\omega^2}{2}\left(\sec^2\dfrac{\omega t}{2}\tan\dfrac{\omega t}{2}\right)\dfrac{dx}{dr}=\dfrac{\omega^2(r^2+1)^2}{4}\dfrac{d^2x}{dr^2}+\dfrac{\omega^2r(r^2+1)}{2}\dfrac{dx}{dr}$

$\therefore\dfrac{\omega^2(r^2+1)^2}{4}\dfrac{d^2x}{dr^2}+\dfrac{\omega^2r(r^2+1)}{2}\dfrac{dx}{dr}+\left(k_1-\dfrac{k_2(r^2-1)}{r^2+1}\right)\dfrac{\omega(r^2+1)}{2}\dfrac{dx}{dr}+\left(\dfrac{1}{1+\dfrac{k_\Delta r}{r^2+1}}-\dfrac{k_3(r^2-1)}{r^2+1}\right)x=F\left(\dfrac{2\tan^{-1}r}{\omega}\right)$

$\dfrac{\omega^2(r^2+1)^2}{4}\dfrac{d^2x}{dr^2}+\dfrac{\omega^2r(r^2+1)+(k_1-k_2)\omega r^2+(k_1+k_2)\omega}{2}\dfrac{dx}{dr}+\left(\dfrac{r^2+1}{r^2+k_\Delta r+1}-\dfrac{k_3(r^2-1)}{r^2+1}\right)x=F\left(\dfrac{2\tan^{-1}r}{\omega}\right)$

$\dfrac{d^2x}{dr^2}+\left(\dfrac{2r}{r^2+1}+\dfrac{2(k_1-k_2)}{\omega(r^2+1)}+\dfrac{4k_2}{\omega(r^2+1)^2}\right)\dfrac{dx}{dr}+\left(\dfrac{4}{\omega^2(r^2+k_\Delta r+1)(r^2+1)}-\dfrac{4k_3(r^2-1)}{\omega^2(r^2+1)^3}\right)x=\dfrac{4}{\omega^2(r^2+1)^2}F\left(\dfrac{2\tan^{-1}r}{\omega}\right)$

Para $\dfrac{d^2x}{dt^2}+(k_1+k_2\cos(\omega t))\dfrac{dx}{dt}+k_3x=F(t)$ ,

Aplicar Sustitución de medio ángulo tangente :

Dejemos que $r=\tan\dfrac{\omega t}{2}$ ,

Entonces $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dx}{dr}\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{\omega}{2}\left(\sec^2\dfrac{\omega t}{2}\right)\dfrac{dx}{dr}=\dfrac{\omega(r^2+1)}{2}\dfrac{dx}{dr}$

$\dfrac{d^2x}{dt^2}=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\omega}{2}\left(\sec^2\dfrac{\omega t}{2}\right)\dfrac{dx}{dr}\right)=\dfrac{\omega}{2}\left(\sec^2\dfrac{\omega t}{2}\right)\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dx}{dr}\right)+\dfrac{\omega^2}{2}\left(\sec^2\dfrac{\omega t}{2}\tan\dfrac{\omega t}{2}\right)\dfrac{dx}{dr}=\dfrac{\omega}{2}\left(\sec^2\dfrac{\omega t}{2}\right)\dfrac{d}{dr}\left(\dfrac{dx}{dr}\right)\dfrac{dr}{dt}+\dfrac{\omega^2}{2}\left(\sec^2\dfrac{\omega t}{2}\tan\dfrac{\omega t}{2}\right)\dfrac{dx}{dr}=\dfrac{\omega}{2}\left(\sec^2\dfrac{\omega t}{2}\right)\dfrac{d^2x}{dr^2}\dfrac{\omega}{2}\sec^2\dfrac{\omega t}{2}+\dfrac{\omega^2}{2}\left(\sec^2\dfrac{\omega t}{2}\tan\dfrac{\omega t}{2}\right)\dfrac{dx}{dr}=\dfrac{\omega^2}{4}\left(\sec^4\dfrac{\omega t}{2}\right)\dfrac{d^2x}{dr^2}+\dfrac{\omega^2}{2}\left(\sec^2\dfrac{\omega t}{2}\tan\dfrac{\omega t}{2}\right)\dfrac{dx}{dr}=\dfrac{\omega^2(r^2+1)^2}{4}\dfrac{d^2x}{dr^2}+\dfrac{\omega^2r(r^2+1)}{2}\dfrac{dx}{dr}$

$\therefore\dfrac{\omega^2(r^2+1)^2}{4}\dfrac{d^2x}{dr^2}+\dfrac{\omega^2r(r^2+1)}{2}\dfrac{dx}{dr}+\left(k_1-\dfrac{k_2(r^2-1)}{r^2+1}\right)\dfrac{\omega(r^2+1)}{2}\dfrac{dx}{dr}+k_3x=F\left(\dfrac{2\tan^{-1}r}{\omega}\right)$

$\dfrac{\omega^2(r^2+1)^2}{4}\dfrac{d^2x}{dr^2}+\dfrac{\omega^2r(r^2+1)+(k_1-k_2)\omega r^2+(k_1+k_2)\omega}{2}\dfrac{dx}{dr}+k_3x=F\left(\dfrac{2\tan^{-1}r}{\omega}\right)$

$\dfrac{d^2x}{dr^2}+\left(\dfrac{2r}{r^2+1}+\dfrac{2(k_1-k_2)}{\omega(r^2+1)}+\dfrac{4k_2}{\omega(r^2+1)^2}\right)\dfrac{dx}{dr}+\dfrac{4k_3x}{\omega^2(r^2+1)^2}=\dfrac{4}{\omega^2(r^2+1)^2}F\left(\dfrac{2\tan^{-1}r}{\omega}\right)$