Diagrama de inyectividad, sobreyectividad y retracción.

Question

Considere el siguiente retroceso diagrama (en cualquier categoría):

$$ \newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5 ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5 ex} \newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5 ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5 ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\subir.5ex\rlap{\scriptstyle#1}} \begin{array}{c} A \times_C B & \ra{p} & A \\ \da{q} & & \da{a} \\ B & \ras{b} & C \\ \end{array} $$

con $a$ un monomorphism y $b$ un epimorphism. Me gustaría que entienda necesarias y/o suficientes condiciones para $p$ a ser un epimorphism demasiado.

Los siguientes podrían ser relevantes:

Lema: $q$ es siempre un monomorphism (y doblemente, en todos los pushout diagramas, la misma declaración se sostiene para el epimorphism)

Prueba: Supongamos que tenemos dos mapas de $u_1, u_2$ a partir de algún objeto $W$ a $A \times_C B$ tal que $q \circ u_1 = q \circ u_2$. A continuación, $a \circ p \circ u_1 = a \circ p \circ u_2$ debido a que el diagrama Cartesiano, y por lo tanto $p \circ u_1 = p \circ u_2$ porque $a$ en un monomorphism. Pero desde $u_1$ e $u_2$ se determina únicamente por sus composiciones $p \circ u_i$ e $q \circ u_i$, y puesto que ambos coinciden, tenemos que $u_1 = u_2$, y por lo tanto $q$ es un monomorphism. QED

He leído aquí una prueba para Abelian categorías, pero creo que mi prueba debe aceptar cualquier categoría, estoy equivocado? De todos modos, volviendo al punto principal:

Pregunta: Cuando es $p$ un epimorphism demasiado?

No espero que esto sea siempre así. Pero tal vez no son necesarias y/o suficientes condiciones para cuando esto funciona. Por ejemplo, para los juegos siempre es verdadero (basta mirar en la construcción explícita de que el pullback).

PS: he visto aquí que es cierto en cualquier Abelian categoría.

Answer 1

Sí, la declaración sobre monomorphisms es cierto en cualquier categoría. La prueba es correcta.

Como usted dijo, la declaración de epimorphisms no es siempre cierto. Por ejemplo, en la categoría de Hausdorff espacios topológicos, vamos a $b$ han densa imagen, pero no surjective (este es un epimorphism) y deje $a$ imagen está contenida en el complemento de la imagen de $b$. A continuación, el producto de fibra de $A\times_{C}B$ está vacía, por lo $p$ no será una epimorphism menos $A$ estaba vacía.

En abelian categorías, pullbacks de epimorphisms son siempre epimorphisms. De manera más general, la noción de necesidad es la de una categoría regular en la que cada epimorphism es regular (es decir, el coequalizer de algún par de morfismos). En la categoría regular, regular epimorphisms siempre tire hacia atrás para regular epimorphisms por definición.

Además de abelian categorías, la categoría de conjuntos también es regular. Por otra parte, todos los epis de los conjuntos regulares. Esto explica su último comentario acerca de la categoría de Conjunto.

Answer 2

Una condición simple en una categoría que hacer epimorphisms estable bajo retroceso es la siguiente:

En una categoría con un proyectiva generador, epimorphisms son estables bajo retroceso.

Hay que recordar que como objeto de $Z$ es un generador de si para cada par de distinta paralelo morfismos $f,g:X\to Y$ existe un morfismos $x:Z\to X$ tal que $xf\neq xg$. Un objeto $Z$ es proyectivo si y sólo si para cada epimorphism $e:X\to Y$ y cada uno de los morfismos $y:Z\to Y$ existe un morfismos $x:Z\to X$ tal que $y=xe$.

Esta condición se ha cumplido, por ejemplo:

• en la categoría de conjuntos mediante la toma de $\{\varnothing\}$ como proyectiva generador;
• en el cateogry de módulos sobre un anillo de tomar el anillo en sí como proyectiva generador;
• en la categoría de grupos de tomar $\Bbb Z$ como proyectiva generador.

prueba. La prueba de este hecho de la siguiente manera a la vez señalando que, dado un proyectiva generador de $Z$, una de morfismos $f:X\to Y$ es un epimorphisms si y sólo si para todos los $y:Z\to Y$ existe $x:Z\to X$ tal que $y=xf$.

El sólo si la parte se sigue desde $Z$ es proyectiva. Para el caso de la parte sigue argumentando por contradicción: si $f$ no es un epimorphism, entonces existe un par de distinta paralelo flechas $u,v:Y\to W$ tal que $fu=fv$.

Desde $Z$ es un generador, no existe $y:Z\to Y$ tal que $yu\neq yv$. Deje $x:Z\to X$ tal que $xf=y$. Entonces $$yu=xfu=xfv=yv$$ una contradicción.

Ahora considere la posibilidad de la retirada de la plaza de abajo. Pretendemos que $q$ es épico. Deje $y:Z\to B$. A continuación, $yb:Z\to C$ y desde $a$ es épico, no existe $x:Z\to A$ tal que $yb=xa$. Desde la plaza, es un retroceso, no existe $z:Z\to P$ tal que $y=zq$.