Estoy un poco confundido acerca de algo que en realidad debería ser simple. Si tenemos una función f entre finito dimensional de los espacios de Banach. Luego tenemos las implicaciones: Si f es derivable parcialmente con derivadas parciales continuas, entonces f es continuamente diferenciable, en particular, f es (totalmente) diferenciable. Sin embargo, lo opuesto a la implicación no es cierto: Hay funciones que son diferenciables, pero no tienen derivadas parciales continuas.
Mi confusión es acerca de cómo continua la diferenciabilidad lazos. Puesto que la derivada de f en cualquier punto es dada como una función lineal, esta función entre (finito dimensionales!) Los espacios de Banach debe ser continua. Pero la función que se asigna a cualquier punto de a es derivado no tiene que ser lineal, por lo que no tiene que ser continuo. Es ese derecho?
De lo contrario (total) la diferenciabilidad implica continuo de la diferenciabilidad.
Así que mi última pregunta es: ¿Es, entonces, continua la diferenciabilidad equivalente a parcial continua de la diferenciabilidad?
Me siento tonta, incluso haciendo esto, pero no pude encontrar ninguna explicación explícita.
