Demostrando el teorema de James

Question

Estoy revisando la prueba del teorema de James, es decir, un espacio de Banach es reflexivo si cada función lineal continua obtiene su norma. Cada cosa que encuentro en línea muestra una dirección ( $\Leftarrow$ ), pero no ( $\Rightarrow$ ). Estoy teniendo problemas para verlo y cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Si $f$ es una funcional lineal continua en un espacio reflexivo $X$ el es continua cuando $X$ es dada la topología débil. La bola unidad cerrada de $X$ es débilmente compacto (por Banach Teorema de Alaoglu) lo $f$ alcanza su máxima sobre la bola. Esta máxima es, por supuesto, la norma de $f$.