¿Podemos configurar la integral así?

Question

${\dfrac{d}{dx}\Large\int} _{0}^{sinx} x^2\sqrt t\ \ dt$ como

${\dfrac{d}{dx}\ x^2 \Large\int} _{0}^{sinx} \sqrt t\ \ dt$

si es así puedo hacer lo mismo para esto también pero terminaré con dt

${\dfrac{d}{dx}\Large\int} _{x}^{\sqrt x} \dfrac{e^x}{x}\ dt$

aquí todas las variables son x excepto el dt podemos sacar el $\dfrac{e^x}{x}$

${\dfrac{d}{dx}\dfrac{e^x}{x}\Large\int} _{x}^{\sqrt x} \ dt$

qué puedo hacer con ${\Large\int} _{x}^{\sqrt x} \ dt$ ?

gracias de antemano

Answer 1

$dt$ está ahí para decirte con respecto a qué variable estás integrando. En tu caso, la variable de integración es $t$ . Todo lo que no sea $t$ se considera una constante (es un número, en otras palabras) que puede entrar y salir del signo integral. Esta es una de las propiedades más básicas de las integrales indefinidas y definidas:

$$ \int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx $$

Si es $dt$ entonces te dice que la variable de integración es $t$ y todas las demás variables que no son $t$ son constantes, lo que significa que se pueden sacar adelante. Si es $dx$ la variable de integración es $x$ y todas las demás variables que no son $x$ son constantes que, de nuevo, se pueden sacar adelante. Si es $dy$ entonces su variable de integración va a ser $y$ y todas las demás variables se consideran constantes y, por supuesto, se pueden sacar del signo integral. Resumiendo, $dX$ le dice que $X$ es la variable de integración, lo que significa que no se pueden extraer expresiones que contengan $X$ del signo integral. Todo lo demás, se puede.

Mira este ejemplo:

$$ \int_{x}^{\sqrt{x}}x\,dt=x\int_{x}^{\sqrt{x}}\,dt=x\cdot t\bigg|_{x}^{\sqrt{x}}=x\left(\sqrt{x}-x\right)=x\sqrt{x}-x^2. $$