Dos jugadores se alternan lanzando una moneda hasta que el resultado sea cara. Cómo se deduce que la probabilidad de que gane el primer jugador es $2/3$ ?

Question

Dos jugadores, $A$ y $B$ Alternadamente y de forma independiente lanzan una moneda y el primer jugador que obtenga una cabeza gana. Jugador $A$ se voltea primero. ¿Cuál es la la probabilidad de que $A$ ¿Gana?

Respuesta oficial: $2/3$ pero no puedo llegar a ella.

Proceso de pensamiento: Encuentre la probabilidad de que una cabeza aparezca en el $n$ de la prueba. Eso es fácil de hacer, es sólo una variable aleatoria geométrica. Entonces encuentra la probabilidad de que $n$ El turno es el turno del jugador A. Finalmente, multiplica ambas probabilidades.

Cuando se me ocurrió cada probabilidad, ambas dependían de la cantidad de ensayos $n$ por lo que mi respuesta era una función no constante de $n$ .

Sin embargo, lo que me parece bastante fantástico es que la respuesta es una constante, por lo que la cantidad de intentos hasta que sale una cabeza no parece importar.

Answer 1

Dejemos que $p$ sea la probabilidad de que el primer jugador gane. A gana la mitad de las veces cuando lanza una cabeza. La otra mitad de las veces, B se convierte en el primer lanzador, y A gana si el primer jugador no gana. $$p=\frac12+\frac12(1-p)\implies p=\frac23$$

Answer 2

Así que $A$ gana si la cabeza sale primero en impar número de lanzamientos. Digamos que $P_k$ es la probabilidad de que la cabeza aparezca por primera vez en $k$ -th toss then $P_k = q^{k-1}p$ y

\begin{eqnarray} P &=& P_1+P_3+P_5+... \\ \\ &=&p+q^2p+q^4p+q^6p+....\\ \\ &=& {p\over 1-q^2}\\ \\& =& {1\over 1+q} \end{eqnarray}

donde $p$ es la probabilidad de que salga cara en un lanzamiento y $q=1-p$ .

Así que si la moneda es justa, entonces $p=1/2=q$ Así que $$P= {2\over 3}$$

Answer 3

Este es otro enfoque.

Considere una ronda de este juego como si A se volteara y luego B se volteara. Por supuesto, el juego puede terminar en medio de una ronda si A sale cara.

En la primera ronda, A tiene el doble de posibilidades de ganar que B. (A gana la mitad de las veces tirando cabezas); y B gana con colas-cabezas, lo que ocurre una cuarta parte de las veces).

Pero esta proporción de dos a uno entre la victoria de A y la de B se mantiene en todas las rondas. Así que, en general, A tiene el doble de probabilidades de ganar que B.

Esto da a A un $\frac23$ posibilidad de ganar a $\frac13$ para B.

Answer 4

Dejemos que $p$ denotan la probabilidad de que $A$ gana. Hay un $.5$ probabilidad $A$ gana en la primera tirada. Si sale cruz, entonces para ganar $B$ debe entonces lanzar las colas. Esta situación ocurre con probabilidad $.25$ ( $1/2 * 1/2$ para ambas colas) y en este caso volvemos al punto de partida. Así que $$p = .5+ .25p$$ que da como resultado $p=2/3$ .

Answer 5

P(A gana) puede pensarse como una suma de infinitos casos, empezando por >A gana la primera ronda(0,5)

A pierde la primera ronda, B pierde la segunda ronda, A gana la tercera ronda (0,5)^3

Y así sucesivamente. Esto forma un gp infinito con el primer término 0.5 y el producto común 0.5^2

P(A ganador) = 0,5/(1-0,25)