Problema EGMO 3.20 (BAMO 2013/3)

Question

El planteamiento del problema es el siguiente:

Dejemos que $H$ sea el ortocentro de un triángulo de ángulo agudo $ABC$ . Consideremos los circuncentros de los triángulos $ABH$ , $BCH$ y $CAH$ . Demuestra que son los vértices de un triángulo que es congruente con $ABC$ .

Así que primero demostré que el ortocentro de $ABC$ es el circuncentro del segundo triángulo, $A'B'C'$ y el circuncentro de $ABC$ es el ortocentro de $A'B'C'$ . A continuación, si tomamos una homotecia $h$ en $N_9$ de $ABC$ con factor de escala $-1$ Esto enviará $H$ a $O$ y viceversa y obtendremos un triángulo congruente.

Pero mi pregunta es, ¿cómo demuestro que el triángulo formado al tomar la homotecia es el propio triángulo de la pregunta, es decir $A'B'C'$ ?

Answer 1

Creo que sabes el hecho de que el círculo $BCH$ es un reflejo del círculo $ABC$ acros $BC$ . Lo mismo ocurre con los otros dos círculos.

Así que $$AC' = AO = CO = CA'$$

y por la persecución de ángulo fácil se puede ver $AC'||CA'$ así que $A'CAC'$ es paralelogramo, por lo que $A'C' = AC$ y hemos terminado.

Answer 2

$B'C'\;\bot\;AH$ y $BC\;\bot\;AH$ Así que $BC\;||\; B'C'$ .

De la misma manera, $AB\;||\;A'B'$ y $AC\;||\;A'C'$ .

Esto implica $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$

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$A'H={BC\over2\sin\angle BHC}={a\over2\sin A}=R$ .

De la misma manera, $B'H=C'H=R$ .

Así que $H$ es el circuncentro de $\triangle A'B'C'$ y su circunradio es $R$ , el mismo que el circunradio de $\triangle ABC$ .

Desde $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ , la igualdad de circunradios nos permite obtener $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$ .