¿Cómo$H \cap P$ es un subgrupo$p$ de$H$?

Question

Recientemente me encontré con el siguiente problema :

Verdadero o falso: Si $P$ es un Sylow $p$-subgrupo de un grupo finito $G$, entonces para cualquier subgrupo $H$ de $G$, $H \cap P$ es un Sylow $p$-subgrupo de $H$.

La afirmación es falsa. Para, tome $G=S_3$ ,$P=\{e,(13)\}$ e $H=\{e,(12)\}$. Tenga en cuenta que $P$ es el Sylow $2$-subgrupo de $G$. Aquí $$H \cap P=\{e\}$$ but $\{e\}$ is not a Sylow $2$-Sylow subgroup of $H$.

Estoy en lo cierto? ¿Cuál es la importancia de este(verdadero/falso) declaración de si los hubiere ?Alguna ayuda?

Answer 1

He buscado en los resultados relativos a este y me encontré con el siguiente:

Vamos a G un grupo finito, $H \triangleleft G$ ser un subgrupo normal y $P$ ser un Sylow $p$-subgrupo de $G$. A continuación, $H \cap P$ es un Sylow $p$-subgrupo de $H$ y su prueba se encuentra aquí.

Así que la respuesta de mi pregunta de "¿Cuál es la importancia de este resultado, si cualquier " es $$\text{when $H$ is normal, then the statement in the OP is true!} $$ Es decir, la normalidad es esencial en la hipótesis de H

Answer 2

Incluso un hecho más general que sí es cierto:

Si $G$ es un grupo finito, $H \lhd \lhd G$ (subnormal) y $P \in Syl_p(G)$, a continuación, $H \cap P \in Syl_p(H)$.

Prueba Desde $H \lhd \lhd G$, podemos encontrar un subnormal de la serie: $H=H_0 \lhd H_1 \cdots \lhd H_i \lhd \cdots \lhd G=H_r$. Desde $H_{r-1} \lhd G$, $P \cap H_{r-1} \in Syl_p(H_{r-1})$. Pero $H_{r-2} \lhd H_{r-1}$, lo $P \cap H_{r-1} \cap H_{r-2}=P \cap H_{r-2} \in Syl_p(H_{r-2})$. Ahora inducción termina la prueba.