Demostrar que para todos los $n\ge2\in\mathbb{Z}$ y $p$ es primo entonces $n^{p^p}+p^p$ es compuesto.

Question

Demostrar que para todos los $n\ge2\in\mathbb{Z}$ y $p$ es primo entonces $n^{p^p}+p^p$ es compuesto.

Esta pregunta me ronda la cabeza desde hace tiempo y necesitaba ayuda. Lo que he intentado hasta ahora: Si $p=2$ entonces $$n^4+4=(n^2+2n+2)(n^2-2n+2).$$ Desde $n\ge 2$ ambos paréntesis son mayores que $1$ y por lo tanto este número es compuesto.

Si $p\gt2$ , $$n^{p^p}=(n^{p^{p-1}})^p.$$ Dejemos que $p^{p-1}=x \therefore n^{p^{p-1}}=n^x.$

Ahora tenemos que $$n^{p^p}+p^p=(n^x)^p+p^p.$$ Desde $p$ es impar, entonces podemos decir que eso es igual a $$(n^x+p)((n^x)^{p-1}-(n^x)^{p-2}p+\dots+p^{p-1}).$$ Ahora $n^x+p\gt1$ pero me quedé atascado intentando demostrar que la paréntesis de la derecha es mayor que $1$ . Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Para $p=2$ obtenemos: $$n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=(n^2+2n+2)(n^2-2n+2),$$ que es compuesto para todos los $n\geq2.$

Pero para $p>2$ vemos que $$n^{p^p}+p^p=\left(n^{p^{p-1}}\right)^p+p^p$$ es divisible por $n^{p^{p-1}}+p$ porque $p$ es impar ahora.

Además, vemos que $$\frac{n^{p^p}+p^p}{n^{p^{p-1}}+p}\geq2.$$