¿Los exponentes de Hölder mayores que 1 implican que la función es constante?

Question

He tenido problemas con los exponentes de Hölder. La definición de continuidad de Hölder me dice que una función $f$ entre espacios métricos debe satisfacer

$d(f(x),f(y)) \leq C \cdot d(x,y)^\alpha$ para algún exponente $\alpha > 0$ .

El Artículo de Wikipedia sin embargo establece que para un exponente $\alpha >1$ esta condición implica que la función $f$ es constante. He estado dándole vueltas, pero no veo por qué es así. Supongamos que $\alpha>1$ . Entonces tengo dos casos (interesantes):

Caso 1: $d(x,y) > 1$ . Aquí la condición de Hölder me dice que se permite que los valores de la función estén aún más separados que los valores de entrada, lo que no parece que se cumpla $f$ para ser constante.

Caso 2: $d(x,y) < 1$ . Esta vez la condición de Hölder me dice que si los valores de entrada están cerca, los valores de la función tienen que estar aún más juntos. Para mí es plausible que esto es precisamente lo que produce la continuidad de las funciones continuas de Hölder, sin embargo de nuevo decir que $f$ necesita ser constante me parece que sigue siendo una conclusión fuerte.

He visto que se han publicado preguntas similares, sin embargo todas ellas hacen uso (al menos indirecto) de algún supuesto de diferenciabilidad en $f$ que no quiero utilizar.

¿Puede alguien iluminarme, por favor?

Agradezco sus respuestas ;).

Answer 1

Esto no es cierto para los espacios métricos generales - si tienes una función cuyo dominio es un espacio de dos puntos, entonces esta función es $\alpha$ -Hölder para cada $\alpha>0$ . $\alpha$ -Propiedad de Hölder para $\alpha>1$ implica que la función sea constante sólo en espacios especiales, como $\mathbb R^n$ . Permítanme centrarme en las funciones $f:\mathbb R\to\mathbb R$ .

Mencionas que "[las pruebas] hacen uso (al menos indirecto) de algún supuesto de diferenciabilidad en $f$ ". Esto no es del todo correcto - no es necesario asume diferenciabilidad, ya que $\alpha$ -Condición de Hölder para $\alpha>1$ implica que la derivada existe - de hecho, sólo consideramos $$\left|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right|\leq\frac{C|h|^\alpha}{|h|}\to 0,$$ por lo que el límite existe y es cero en todas partes. De una forma u otra, podemos demostrar que $f$ también es constante directamente: tome dos puntos cualesquiera $x<y$ y que $x_0=x,x_1=x+\frac{y-x}{n},x_2=x+2\frac{y-x}{n},\dots,x_n=x+n\frac{y-x}{n}=y$ . Entonces tenemos $$|f(x)-f(y)|\leq|f(x_0)-f(x_1)|+|f(x_1)-f(x_2)|+\dots+|f(x_{n-1})-f(x_n)|\\ \leq C|x_0-x_1|^\alpha+C|x_1-x_2|^\alpha+\dots+C|x_{n-1}-x_n|^\alpha\\ \leq n\cdot C\left|\frac{x-y}{n}\right|^\alpha=n^{1-\alpha}C|x-y|^\alpha\to 0,$$ para que $f(x)=f(y)$ .

Answer 2

Dudo que la afirmación sea válida en toda su generalidad. Consideremos un conjunto $X$ dotado de la métrica discreta y dejemos que $f$ sea la identidad en $X$ . Entonces $f$ satisface la continuidad de Hölder (con $C=1$ y cualquier $\alpha>0$ ) pero no es constante.