¿Un grupo metabélico sin centro finito es siempre un producto semidirecto de dos grupos abelianos?

Question

Supongamos $G$ es finito, sin puntos metabelian grupo. Es verdad que es un semidirect producto de dos abelian grupos?

No parece verdad para mí, pero no he logrado encontrar ninguna contraejemplos. En realidad, sé que muy pocos ejemplos de finito metabelian grupos que no se dividen en un semidirect producto de dos abelian grupos, pero todos ellos tienen un trivial centro.

Lo que he intentado:

Lo único que he conseguido ver aquí es que un grupo que tiene un abelian normal Hall subgrupo con un abelian cociente por que es un semidirect producto de dos abelian grupos (como cualquier grupo finito de divisiones por encima de su normal Hall subgrupo). Por otro lado, todos los Hall de los subgrupos de una semidirect producto de dos finito abelian grupos son normales (como la Sala de los subgrupos finitos abelian grupos siempre son característicos).

Así que la pregunta puede ser reducido a encontrar un número finito de centerless metabelian grupo con un no-normal Hall subgrupo o para probar que cualquier finito centerless metabelian grupo abelian normal Hall subgrupo con un abelian cociente por ella. Nota que dichas implicaciones son de un solo lado, lo que demuestra que todo Hall subgrupos finitos centerless metabelian grupos son normales o la búsqueda de un número finito de centerless metabelian grupo sin abelian Hall subgrupo con un abelian cociente por que no nos dan nada respecto a esta cuestión.

Sin embargo, estas dos nuevas "preguntas" no parece más fácil que la inicial...

Answer 1

Sí, es cierto.

Supongamos que $G$ es finito y $Z(G)=1$. Supongamos, también, que $N \unlhd G$ es tal que tanto $N$ e $G/N$ son abelian grupos. Denotar por $L$ el menor plazo de la parte inferior central de la serie de $G$. Esta característica de los subgrupos que se conoce como la nilpotent residual de $G$ y es el único menor subgrupo normal de manera que los correspondientes cociente es nilpotent.

Desde $G/N$ es abelian, tenemos $L \leq G' \leq N$, lo $L$ es abelian. Tenga en cuenta que $L>1$ ya que si $L=1$ entonces $G$ es nilpotent, en contra de la suposición de que $Z(G)=1$. Ahora se sabe que si $L$ es abelian, a continuación, $L$ tiene un complemento en $G$, lo que en realidad es nilpotent (consulte a continuación un extracto de la p. $264$ de Robinson del libro).

Más generalmente, si $\frak{F}$ es saturada de la formación y el $\frak{F}$-residual de $G$ es abelian, a continuación, se complementa en $G$. Una palabra más sobre por qué el teorema anterior se aplica en nuestro caso. Desde $G$ es metabelian, sin duda, es soluble y sistema de normalisers (complementos) son siempre nilpotent soluble en grupos (esto se puede ver directamente, aunque).

Su exigencia de que $Z(G)=1$ también le da a ese $C_G(L) \leq L$. Este es un teorema de Schenkman (ver Isaacs' FGT libro, pág. $283$; $G^{\infty}$ es cómo Isaacs escribe el nilpotent residual).

Desde $L$ es abelian también tenemos $C_G(L) \geq L$, lo $C_G(L) =L$. Por lo tanto, $L$ es la máxima abelian normal subgrupo de $G$. En particular, $L=G'=N$. El complemento para $L$ en $G$ cuya existencia se había asegurado antes de es $\cong G/L = G/N$, por lo tanto abelian por supuesto, y hemos terminado.