Probar que si el 100 números son elegidos a partir de los primeros 200 natural los números e incluyen un número menor de 16 años, y uno de ellos es divisible por otro.
Cómo probar esto? muchas gracias....
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DiGi
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He aquí un enfoque ligeramente diferente.
Deje $A$ el conjunto de $100$ números, y supongamos que $A$ es un contraejemplo. Claramente $1\notin A$. Si $2\in A$, el otro $99$ de los miembros de $A$ deben ser los enteros impares $3,5,\dots,199$, en cuyo caso $\{3,9\}\subseteq A$. Por lo tanto, podemos suponer que la $1,2\notin A$.
Supongamos que $n$ es impar y a menos de $16$. A continuación, el otro $99$ de los miembros de $A$ no son múltiplos de $n$. En particular, se debe tener impar de piezas que no sean múltiplos de $n$. El $100$ posible impar de piezas incluyen$3n$$5n$, por lo que hay en la mayoría de las $98$ impar de piezas disponible para el resto de $99$ de los miembros de $A$. Por lo tanto, dos de estos números deben tener el mismo impar parte, y la más grande, entonces es un múltiplo de los más pequeños. Ahora podemos asumir que $1,2,3,5,7,9,11,13,15\notin A$.
Si $6,10,12$ o$14$$A$, el otro $99$ de los miembros de $A$ debe tener impar de partes diferentes de $3,5,3$ o $7$, respectivamente, y se sigue como en el párrafo anterior que algún miembro de $A$ es un múltiplo de otra. Ahora podemos asumir que $A\cap\{1,\dots,15\}\subseteq\{4,8\}$.
Supongamos que $4\in A$ y $8\notin A$. $2\notin A$, por lo que el $99$ otros miembros de $A$ debe tener impar de partes diferentes de $1$. Por lo tanto, cada uno impar parte, deben ser representados exactamente una vez. Pero, a continuación, $6\in A$ (desde $A$ no contiene adecuada múltiples de $4$, y por hipótesis de $3\notin A$), contradiciendo la suposición de que $6\notin A$.
Por último, supongamos que el$8\in A$$4\notin A$. Como en el caso anterior, cada impar parte, deben ser representados una vez que entre las $99$ de los miembros de $A\setminus\{8\}$. Pero entonces uno de $3,6$, e $12$$A$, ya que el $A\setminus\{8\}$ no contiene múltiples de $8$, contradiciendo la suposición de que $A\cap\{1,\dots,15\}=\{8\}$.
Por lo tanto, no hay ningún contraejemplo.
