Tenemos dos canicas rojas, dos blancas y dos verdes en una urna.

Question

Tenemos dos rojos, dos blancos y dos mármoles verdes en una urna. Elegimos uno por uno de la urna y el registro de sus colores. Encontrar la probabilidad de que en algún momento vamos a elegir el mismo color de la espalda. Por ejemplo, esto sucede cuando lleguemos a la secuencia de rojo, blanco, blanco, verde, rojo, verde, pero también si tenemos rojo, rojo, blanco, blanco, verde, verde.)

Hasta ahora tengo el siguiente.

Tenga en cuenta que si pensamos acerca de este problema como una secuencia $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)$ de las bolas. Tenga en cuenta que si arreglamos una de las bolas, entonces tenemos un $\large\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}$ de probabilidad de no recoger el mismo color junto a él. por lo tanto la probabilidad de elegir dos consecutivos bolas del mismo color es igual a $\large 1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}.$

Sin embargo no estoy seguro de mi razonamiento y creo que he cometido un error.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

También se puede simplemente contar la siguiente manera: $$ \frac{1}{5} + \frac{4}{5} \left[ \frac{1}{4} + \frac{2}{4}\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \left(\frac{2}{3}\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right)\right] = \frac{2}{3}$$ En palabras: La primera de mármol puede ser uno arbitrario (es decir rojo). La segunda es de color rojo (con $1/5$ de probabilidad) o no (con $4/5$ probabilidad, dicen blanco). En este caso, la tercera es de mármol blanco ($1/4$) o verde ($2/4$ para el resto de los que aún no dibujado) en cuyo caso se debe dibujar de nuevo ($1/3$ de probabilidad), o dibujamos la primera ya dibujados (roja), con $1/4$ de probabilidad. En el último caso queda la posibilidad de sacar ahora la verde - aún no ha sido dibujado con $2/3$ probabilidad y debemos sacar de nuevo para tener éxito - por entonces sólo 1 verde y 1 blanca están a la izquierda en la urna - que da un factor de $1/2$, o dibujamos el general segundo (blanco) uno con $1/3$ de probabilidad de que sólo deja 2 mármoles verdes en la urna y hemos terminado.

Answer 2

Usted puede usar la inclusión-exclusión principio. El número de maneras en cuando al menos dos días consecutivos de bolas del mismo color es $$|R\cup W\cup G|=\underbrace{3\cdot 5 \cdot \frac{4!}{2!2!}}_{|R|+|W|+|G|}-\underbrace{3\cdot 2 \cdot \binom{4}{2}}_{|R\cap W|+|W\cap G|+|G\cap R|}+\underbrace{6}_{|R\cap W\cap G|}=60$$ donde $R$ es el conjunto de las extracciones donde los dos bolas rojas son recogidos espalda con espalda ($W$ e $G$ tienen definiciones similares). Por lo tanto la probabilidad es $$p:=\frac{60}{\frac{6!}{2!2!2!}}=\frac{60}{90}=\frac{2}{3}.$$

Answer 3

Dejemos que $R$ denote el evento de que las bolas rojas se seleccionan espalda con espalda.

Deje que $W$ denote el evento en el que las bolas blancas se escogen de espaldas.

Deje que $G$ denote el evento en el que las bolas verdes se escogen espalda con espalda.

Luego, aplicando inclusión / exclusión y simetría encontramos: $$P(R\cup W\cup G)=3P(R)-3P(R\cap W)+P(R\cap W\cap G)=$$$$3\frac5{\frac{6!}{2!4!}}-3\frac{12}{\frac{6!}{2!2!2!}}+\frac{6}{\frac{6!}{2!2!2!}}=\frac{15}{15}-\frac{36}{90}+\frac6{90}=\frac23$ $

Answer 4

En el primer turno, hay 6 posibles canicas para dibujar. Para evitar el mismo color en el siguiente turno, sólo hay 4 posibles canicas a la izquierda. Si en la tercera vuelta, tomamos el primer color de nuevo, sólo hay dos maneras de dibujar el resto de los mármoles (el color en el quinto turno debe ser el mismo que el de la segunda vuelta). Si en lugar de elegir el tercer color en el tercer turno, hay tres canicas de tres colores diferentes, a la izquierda, que puede ser dibujado en cuatro caminos (el color en el cuarto turno no puede coincidir con el uno en el tercer turno). El número de sorteos es así:

$$6 \cdot 4 \cdot (1 \cdot 2 + 2 \cdot 4) = 240$$

La probabilidad de sacar el mismo color en los sucesivos turnos entonces es igual a:

$$\frac{6! - 240}{6!} = \frac{720 - 240}{720} = \frac{480}{720} = \frac{2}{3}$$

Answer 5

Me gustaría hacer esto con un simple árbol de decisión. Todo lo que el primer color recogido es, no es uno más del mármol del mismo color, y con la misma probabilidad de estar en cualquiera de los cinco restantes posiciones. Si es el siguiente, ganamos; $\frac15$ en la bolsa. De lo contrario, depende, en el resto de colores, en el resto de posiciones que son separados por el segundo de mármol en el primer color en grupos como $1+3$, $2+2$, $3+1$ o $4+0$ ( $0+4$ fue el caso de uno donde ya hemos tenido un par de ellos). Los patrones de los cuatro sorteos de otros colores se $AABB$, $ABAB$ e $ABBA$ con igualdad de probabilidades. El $AABB$ siempre es una victoria, $ABAB$ es siempre una pérdida, y $ABBA$ es un triunfo menos que los grupos se dividieron $2+2$. Así que nos tomamos el $2+2$ caso por separado con un $\frac13$ oportunidad, y las otras tres divisiones de contribuir $\frac23$ de su peso. Todos en todos la oportunidad de ganar es $$\frac15+\frac15\times\frac13+\frac35\times\frac23=\frac{3+1+6}{15}=\frac23.$$