¿Cómo puedo probar$\frac {d}{dx} {x^n} = n x^{n-1}$ para$ n \in \Bbb R$ sin un razonamiento circular?

Question

Yo simplemente no puede demostrar que $$\frac {d}{dx} {x^n} = n x^{n-1}$$ for $ n \in \Bbb R$.

Para $n \in \Bbb{N}$, puedo utilizar la definición de derivada :

$$\frac {d}{dx}x^n = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h}$$

Ahora la aplicación de "Binomio de Expansión" para $\displaystyle (x+h)^n=\sum_{i=0}^{n}{n \choose i }x^{n-i}h^i$ y en expansión, el $x^n$ término en el numerador se cancela y el $h$ desde denominador se divide todo el resto de la expresión . Tomando límite de $h$ tendiendo a $0$ da el resultado deseado.

Me han enseñado que la derivada resultado se mantiene para todos los verdaderos $n$. Pero yo no soy consciente de ninguna "fórmula" que me permiten ampliar un binomio con la expresión de índice real. Yo sé acerca de la Expansión de Taylor, pero si recuerdo correctamente, se utiliza la derivada que estoy tratando de encontrar.

¿Cómo puedo proceder ?

Answer 1

Como se indica en los comentarios, podemos usar el hecho de que $$x^n=e^{n\ln{x}}$ $ para todos $x \in \mathbb{C}$ excepto $0$ , $n \in \mathbb{C}$ . Luego, al usar la regla de la cadena, tenemos $$\frac{d}{dx}\Big(e^{f(x)}\Big)=f'(x)\cdot e^{f(x)}$ $

Entonces, $$\frac{d}{dx}\Big(x^n\Big)=\frac{d}{dx}\Big(e^{n\ln{x}}\Big)=\frac{n}{x}\cdot e^{n\ln{x}}=\frac{n}{x} \cdot x^n = n \cdot x^{n-1}$ $

Answer 2

Para $\boldsymbol{n\ge1}$

De Bernoulli de la Desigualdad, que se prueba con exponentes de números enteros en esta respuesta y extendido a los exponentes racionales en esta respuesta el uso de la inducción, se dice que por $n\ge1$, $$ 1+nx\le(1+x)^n\tag1 $$ De $(1)$, obtenemos $$ 1+x\le\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n=e^x\tag2 $$ Por lo tanto, $$ x^n\left(1+\frac{nh}x\right)\le\overbrace{x^n\left(1+\frac hx\right)^n}^{(x+h)^n}\le x^ne^{nh/x}\tag3 $$ donde la izquierda de la desigualdad es $(1)$ y el derecho de la desigualdad es la $n^\text{th}$ poder de $(2)$.

Restando $x^n$ y dividiendo por $h$da $$ x^n\frac nx\stackrel{h\gtrless0}\lesseqgtr\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\stackrel{h\gtrless0}\lesseqgtr x^n\frac nx\frac{e^{nh/x}-1}{nh/x}\tag4 $$ La aplicación de $(9)$da $$ x^n\frac nx\stackrel{h\gtrless0}\lesseqgtr\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\stackrel{h\gtrless0}\lesseqgtr x^n\frac nx\frac1{1-nh/x}\tag5 $$ Entonces el Teorema del encaje de los rendimientos $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^n=nx^{n-1}}\tag6 $$

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Se extiende a $\boldsymbol{n\lt1}$

Para los más pequeños de $n$, podemos usar la regla del producto y la inducción. Es decir, supongamos que sabemos que $(6)$ sostiene por algunos $n$, luego $$ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{n-1} &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac1xx^n\right)\\ &=\frac1xnx^{n-1}-\frac1{x^2}x^n\\ &=(n-1)x^{n-2}\tag7 \end{align} $$ por lo tanto, $(6)$ tiene por $n-1$.

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Límites en $\boldsymbol{\frac{e^x-1}x}$

Tomando $(2)$, sustituyendo $x\mapsto-x$, y tomando recíprocos de los rendimientos que para $x\lt1$, $$ e^x\le\frac1{1-x}\tag8 $$ La combinación de $(2)$ e $(8)$, restando $1$ y dividiendo por $x$da $$ 1\stackrel{x\gtrless0}\lesseqgtr\frac{e^x-1}x\stackrel{x\gtrless0}\lesseqgtr\frac{1}{1-x}\tag9 $$

Answer 3

El siguiente paso es probar el resultado para los exponentes de la forma $1/n \text{ with } n \in \Bbb N \text{ and } n \gt 0$. Usted puede hacer esto a través de la diferenciación implícita: Si $y = x^{1/n}, \text{ then } y^n = x$. A continuación, utilice el cociente de la regla para obtener el resultado para exponentes negativos y la regla de la cadena y los dos resultados anteriores (uso de $x^{p/q} = {(x^{1/q})}^p$) para obtener el resultado para todos los exponentes racionales.

Obtener el resultado para el irracional exponentes primero requiere que se defina la exponenciación para irracional de los exponentes. Te gustaría conseguir una correcta definición tomando límites de los exponentes racionales, pero la definición de que es mucho más fácil trabajar con el es $x^n=e^{n \cdot\ln x}$, la cual se puede diferenciar el uso de la regla de la cadena y el hecho de que (derivado de la definición de $e^x$) que $d(e^x)/dx=e^x$.

Y por cierto, buen trabajo darse cuenta de que el uso de una serie de Taylor sería razonamiento circular.