Para qué espacios métricos $(X, d) \ \exists s > 0$ s.t para todos $\epsilon < s$ y todos $x \in X$ tenemos $\text{diam}(B_d(x, \epsilon)) = 2\epsilon$ ?

Question

Intentaba demostrar que, en general, el diámetro de una bola abierta $B_d(x, \epsilon)$ en un espacio métrico $(X, d)$ es igual a $2\epsilon$ . Entonces se me ocurrió que esto no es así si la métrica induce la topología discreta, por lo que una condición necesaria (pero probablemente no suficiente) es que $d$ no induce la topología discreta. Un ejemplo trivial en el que esto es cierto es $\mathbb{R}^n$ con la métrica euclidiana. Entonces, ¿qué puede ¿imponemos que los diámetros sean exactamente el doble del radio?

Observación: si $A\subset X$ está acotado, el diámetro de $A$ es $:= \displaystyle{\sup_{a_1, a_2 \in A} d(a_1, a_2)}$

EDITAR: a las personas que votan para cerrar la pregunta: ¿podrían al menos mencionar sus razones en un comentario? Si no, es difícil saber qué estoy haciendo mal...

EDITAR 2: Me han llamado la atención de que quizás la pregunta inicial no es tan interesante así que he editado el título. Aun así, si pudiéramos encontrar una condición necesaria y suficiente, ¡sería estupendo!

Answer 1

No es una respuesta completa

La topología discreta es un buen ejemplo para mostrar que las cosas no son "bonitas", pero hay ejemplos mucho más bonitos. Mira, por ejemplo, la esfera unitaria.

Un disco de radio $\pi/2$ centrado en el polo norte tiene como límite el ecuador, por lo que todo es bonito, y el diámetro es $\pi = 2r$ . Pero si se mira un disco con un radio mayor --- digamos $3\pi/4$ --- entonces se encuentra que el diámetro es todavía $\pi$ (conseguido por un par de puntos antipodales en el ecuador, por ejemplo).

Sospecho que para muchos espacios agradables encontrará que para grandes valores de $\epsilon$ su condición falla.

Supongo que lo que quiero decir es que podría ser interesante hacer una versión modificada de tu pregunta:

Para qué espacios métricos $(X, d)$ ¿hay alguna $s > 0$ con la propiedad de que para todo $\epsilon < s$ y todos $x \in X$ tenemos $\text{diam}(B_d(x, \epsilon)) = 2\epsilon$ ?

Answer 2

Hay varias clases de espacios para los que se cumple la propiedad del título de tu pregunta:

1. Las variedades riemannianas compactas (conectadas) o, más generalmente, las variedades riemannianas completas con radio de inyectividad acotado por debajo. Recordemos que una métrica riemanniana en una variedad conectada $M$ define una función de distancia $d$ en $M$ ( $d(p,q)$ es igual al mínimo de las longitudes de los caminos que conectan $p$ a $q$ ). Las geodésicas riemannianas no minimizan necesariamente la longitud, pero sí lo hacen localmente: Si dos puntos $p, q$ están en una geodésica $c$ en $M$ y la longitud $L$ del segmento $pq$ de $c$ entre estos puntos es suficientemente pequeño, entonces $d(p,q)=L$ . Si $M$ es compacto, entonces se puede hacer un límite en esta afirmación uniforme: Existe $D>0$ de manera que si $L\le D$ entonces $pq$ es una geodésica minimizadora (única) entre $p$ y $q$ . Ahora toma cualquier $r< D/2$ . Para $x\in M$ la bola métrica $B(x,r)$ centrado en $x$ y de radio $r$ (llamado bola geodésica ) tiene la propiedad de que toda geodésica $c$ a través de $x$ y contenida en $B(x,r)$ es un minimizador. En particular, si $c=pq$ donde $p, q$ están en el límite de $B(x,r)$ entonces $d(p,q)=2r$ . Por lo tanto, el diámetro de $B(x,r)$ es al menos $2r$ . La desigualdad opuesta, $diam(B(x,r))\le 2r$ es inmediato a partir de la desigualdad del triángulo.

Mi referencia favorita para esto es "Geometría Riemanniana" de do Carmo.

2. El mismo argumento funciona para las variedades de Finsler, siempre que la norma de Finsler sea fuertemente convexa.

3. De forma más general, existe una clase de espacios métricos llamada espacios geodésicos con propiedad de extensión geodésica que no son variedades riemannianas, pero para las que se aplica el mismo argumento. Un ejemplo de este tipo de espacio es un árbol completo: Un grafo conectado sin ciclos y sin vértices de valencia 1, al que dotamos de la gráfico-métrico : declaran que cada arista es isométrica con respecto al intervalo unitario y definen la distancia entre puntos minimizando las longitudes de los caminos en el gráfico que conectan estos puntos.

Nótese que las geodésicas en los espacios métricos generales se definen de forma diferente al caso riemanniano: Una geodésica se define como una trayectoria de longitud mínima parametrizada por su longitud de arco, o bien como una incrustación isométrica de un intervalo en el espacio métrico. Una buena referencia es

Burago e Ivanov " Un curso de geometría métrica ", especialmente la sección 9.1.7.