Patrones en desigualdades de triángulos que implican ángulos.

Question

Estaba leyendo este página y se preguntaba por qué, las desigualdades para $\cos A$ (con argumento $A$ ) se convierten en la misma desigualdad para $\sin\frac{A}{2}$ (con argumento $\frac{A}{2}$ ), de forma similar para $\tan$ y $\cot$ .

Ejemplos,

$$\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\le\frac{1}{8}$$$$\cos A\cos B\cos C\le\frac{1}{8}$$

y

$$\cos (A)+\cos (B)+\cos (C)\le\frac{3}{2}$$$$\displaystyle\sin\frac{A}{2}+\sin\frac{B}{2}+\sin\frac{C}{2}\le\frac{3}{2}$$

¿Hay alguna matemática mayor implicada o sólo una bonita coincidencia?

Answer 1

Gran observación, nunca me había fijado en eso. No es una coincidencia, aquí hay una explicación.

Reescribe los términos del seno como cosenos, por ejemplo, $$\cos(90^\circ-\tfrac A2)+\cos(90^\circ-\tfrac B2)+\cos(90^\circ-\tfrac C2)\le\tfrac32\ .$$ Ahora $$\eqalign{ A,B,C&\ \hbox{are the angles of a triangle}\cr &\Leftrightarrow\quad A+B+C=180^\circ\cr &\Leftrightarrow\quad \tfrac A2+\tfrac B2+\tfrac C2=90^\circ\cr &\Leftrightarrow\quad (90^\circ-\tfrac A2)+(90^\circ-\tfrac B2)+(90^\circ-\tfrac C2)=180^\circ\cr &\Leftrightarrow\quad (90^\circ-\tfrac A2),(90^\circ-\tfrac B2),(90^\circ-\tfrac C2)\ \hbox{are the angles of a triangle}\cr}$$ Así que, en este contexto,

• cualquier cosa verdadera para todos los triángulos que se pueda decir sobre $A,B,C$ también será cierto sobre $(90^\circ-\frac A2),(90^\circ-\frac B2),(90^\circ-\frac C2)$ ;
• por lo tanto, cualquier cosa verdadera para todos los triángulos que se pueda decir sobre $\cos A,\cos B,\cos C$ también será cierto sobre $\cos(90^\circ-\frac A2),\cos(90^\circ-\frac B2),\cos(90^\circ-\frac C2)$ ;
• por lo tanto, cualquier cosa verdadera para todos los triángulos que se pueda decir sobre $\cos A,\cos B,\cos C$ también será cierto sobre $\sin\frac A2,\sin\frac B2,\sin\frac C2$ .