Interpretación de $\epsilon$ - $\delta$ definición de límite

Question

La definición épsilon-delta para los límites establece que (a partir de Wikipedia ) para todos los reales $\epsilon > 0$ existe un verdadero $\delta > 0$ tal que para todo $x$ con $ 0 < |x − c | < \delta$ tenemos $|f(x) − L| < \epsilon$ - Sin embargo, la definición del límite sólo requiere la existencia de algún $\delta>0$ para cualquier $\epsilon>0$ . La parte que me cuesta entender es por qué no hay detalles sobre la disminución "intuitiva" de la δ a medida que ε se hace más pequeña.

Me doy cuenta de que decir que a medida que ε se aproxima a cero δ también se aproxima a cero utilizaría la intuición no rigurosa de un límite en una definición destinada a hacer del límite una parte rigurosa de las matemáticas, pero ¿por qué es innecesario mostrar la relación entre épsilon y delta además de la prueba de existencia? ¿Hay alguna otra implicación de una función que se me escapa y que es la razón por la que sólo la prueba de existencia está en esta definición?

EDIT: Si consideramos la dependencia de un épsilon de un delta decreciente, ¿puede existir el límite si épsilon es creciente a medida que delta disminuye? Si es así, ¿por qué?

Answer 1

A efectos de los límites, la dependencia precisa de $\delta $ en $\epsilon$ simplemente no es importante. Las pruebas no requieren ningún conocimiento de esa relación. Como se ha dicho, $\delta (\epsilon)$ normalmente tiende a $0$ como $\epsilon$ tiende a $0$ pero no siempre es así. Para precisar esto, dejemos que $\delta(\epsilon)$ sea el mayor $\delta$ correspondiente a $\epsilon$ en la definición de continuidad en $x$ para una función $f$ . Así, $\delta(-)$ es una función cuyo dominio es $(0,\infty )$ y cuyo rango es $(0,\infty]$ y es monotónicamente no decreciente. Si $f$ es una función constante, entonces $f(\epsilon)=\infty $ para todos $\epsilon>0$ , lo que demuestra que efectivamente $\lim_{\epsilon\to 0}\delta(\epsilon)$ no necesita ser $0$ .

La definición de límite recoge lo siguiente: $\lim_{x\to a}f(x)=L$ significa que para cualquier distancia prescrita $\epsilon>0$ existe algún límite superior para las distancias $\delta$ de manera que si $x\ne a$ está dentro de $\delta $ unidades de $a$ entonces $f(x)$ es garantizado para estar dentro de $\epsilon$ unidades del límite $L$ .

Observación: La función $\delta(-)$ se conoce como módulo de continuidad para $f$ . Las funciones cuyos módulos de continuidad tienen ciertas propiedades (por ejemplo, son cóncavas) son importantes.