sistema diferencial en el toro

Question

En un reciente tema que he estudiado en el análisis complejo tuve que estudiar el sistema diferencial en el torus $\mathbb T^2:$ $$\begin{cases}\frac{\partial}{\partial y}u-\frac{\partial}{\partial x}v=\sin(y)-\cos(x),\\\\ \frac{\partial}{\partial x} u+\frac{\partial}{\partial y}v=0,\end{cases}$$ with the conditions $$\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}u(x,y)\mathrm d x\mathrm dy=\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}v(x,y)\mathrm d x\mathrm dy=0.$$

En particular, me pareció que este sistema fue explícitamente solucionable, y para ello me basé en la no homogénea de Cauchy Riemann ecuaciones (intercambio de las coordenadas $x\leftrightarrow y) $ y que, básicamente, seguido de este enlace. Por desgracia mis cálculos no llevan a ninguna parte..

Yo estoy pidiendo dos cosas..

Es de esa manera, aplicables a terminar el problema, y si es así me pueden ayudar en el acabado de la prueba?

Lo que es más importante: ¿hay formas más inteligentes de hacer el problema?

Gracias de antemano..

-Guido-

EDITAR

Tengo la siguiente pregunta relacionada con la anterior post lo estoy escribiendo como una edición a esta pregunta.

La pregunta es la siguiente: probar que si $f$ es suave, periódica y con media cero, entonces la solución del sistema en $\mathbb T^2$

$$\begin{cases}\frac{\partial}{\partial y}u-\frac{\partial}{\partial x}v=0,\\\\ \frac{\partial}{\partial x} u+\frac{\partial}{\partial y}v=f(x,y),\end{cases}$$

satisface

$$\int_{0}^{2\pi}\int_0^{2\pi}\left(u(x,y)u'(x,y)+v(x,y)v'(x,y)\right)\mathrm dx\mathrm dy=0.$$

Gracias por su paciencia.

Answer 1

Una sugerencia: Introducir nuevas funciones desconocidas $\bar u$, $\,\bar v$ por medio de $$u(x,y)=-\cos y+\bar u(x,y)\ ,\qquad v(x,y)=\sin x+\bar v(x,y)$$ y comprobar el resultado de las condiciones para $\bar u$, $\,\bar v$.

Siguiendo la sugerencia de uno encuentra que las $\bar u$ $\bar v$ son armónica de las funciones en el toro ${\mathbb T}^2$. Un no constante armónico función no puede llegar a un máximo en un punto interior de su dominio; pero como ${\mathbb T}^2$ es un compacto de colector $\bar u$$\bar v$. Por lo tanto, $\bar u$ $\bar v$ tiene que ser constante. Desde $\int_0^{2\pi}\cos y\ dy=\int_0^{2\pi}\sin x\ dx=0$ se desprende de la última condición de que $\bar u$ $\bar v$ tiene que ser idéntica a cero.

Esto nos lleva a la conclusión de que necesariamente $u(x,y)=-\cos y$$v(x,y)=\sin x$.