Hay una buena manera de resolver para z la ecuación de $e^{i\pi} = e^{z\ln2} + e^{z\ln3}$?

Question

$e^{i\pi} = e^{z\ln2} + e^{z\ln3}$

Cómo puedo lidiar con esto? Quiero resolver para z. ¿Esta ayuda?

$e^{z\ln2} + e^{z\ln3} = e^{z\ln2}(1 + e^{z(ln3-ln2)})$

Si me escribe z=x+iy, entonces la expresión se convierte en

$-1 = e^{x\ln2}e^{iy\ln2}+e^{x\ln3}e^{iy\ln3}$

Answer 1

Al mejor de mi conocimiento, no se puede resolver por $z$ analíticamente. Como en mi comentario anterior, la expresión se simplifica a $-1=2^z + 3^z$, pero no hay una manera de encontrar a $z$ explícitamente. Incluso separando en partes real e imaginaria se obtiene un sistema de ecuaciones no lineales. Así que para responder: es solucionable? No, no lo es. Así que usted tendría que usar métodos numéricos para resolver $0=2^z + 3^z -1$. Pero en términos de interpretación , espero que alguien pueda proporcionar más información.

Answer 2

Escribir $log(2)=A+2\pi i n$ $log(3)=B + 2\pi i m$ donde $A$ $B$ son los verdaderos registros de $2$$3$.

Escribir $z=x+iy$, escribe las partes real e imaginaria de la ecuación con dos ecuaciones con cuatro incógnitas (los dos reales, de dos enteros) $x,y,m,n$, y no va a ser difícil de caracterizar las soluciones.