Probar o refutar que$\sin\lfloor x\rfloor$ es periódico.

Question

El título lo dice todo. Estaba trazando funciones aleatorias en mi teléfono y noté este gráfico. No creo que esta función sea periódica (WA también está de acuerdo). ¿Hay alguna manera de probar si una función como esta es periódica o no?

Answer 1

Supongamos que$f(x+n)=f(x)$ para todos$x$.
Las discontinuidades están en enteros para$f(x)$, por lo que deben ser para$f(x+n)$, por lo que$n$ es un entero.
$\sin n=f(n)=f(0)=0$ así que$n$ es un múltiplo de$\pi$,$n=m\pi$.
$\pi$ es irracional, así que$n=0$.
Entonces,$f(x)$ no es periódico.