El poder de los números de coprime

Question

Me gustaría probar que $ \gcd (a,b) = 1$ implica que para cualquier $i,j$ en N, $ \gcd (a^{i},b^{i}) = 1$ sin utilizar la factorización en números primos.

Con la factorización es muy fácil (no tienes factores similares, y no aparecen nuevos factores con la potencia). Pero sin ella estoy atascado.

Traté de encontrar una contradicción pero no salió nada, suponiendo que existe i,j en N tal que $ \gcd (a,b) = 1$ y $ \gcd (a^{i},b^{i}) \ne 1$ . Entonces tengo que $a^{i} = k \cdot a'$ y $b^{j} = k \cdot b'$ Podría hacer algo para decir que $k|a^{n} \Rightarrow k|a$ pero no veo cómo probar esto sin la factorización de nuevo.

También intenté la inducción y demostré que $ \gcd (a,b) = 1 \Rightarrow \gcd (a^{2},b) = 1$ pero de nuevo sin la factorización no me queda claro.

¿Hay alguna manera de hacer esto sin la factorización?

Gracias

Answer 1

Tal vez digas que esto no cuenta porque usa la factorización, pero creo que es mejor que lo saque a la luz.

Demuestra que $$ \gcd (a^i, b^j) = ( \gcd (a, b))^{ \min (i, j)}.$$

Por ejemplo, $ \gcd (12, 20) = 4$ . Luego para averiguar $ \gcd (144, 8000)$ observamos que $144 = 12^2$ y $8000 = 20^3$ . Ya que 2 es el exponente más pequeño, vemos que $ \gcd (144, 8000) = 4^2 = 16$ .

Si se puede probar eso, entonces se deduce fácilmente que si $ \gcd (a, b) = 1$ Entonces $ \gcd (a^i, b^j) = 1^i = 1^j = 1$ .