$f$ entero pero no polinómico entonces $\lim_{n\to\infty}\sup \{|z|:p_n(z)=0\}\to\infty$ donde $p_n$ es $n-th$ Taylor serie de $f$

Question

Sea $f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kz^k$ ser entero y no un polinomio. Sea $p_n(z)=\sum_{k=0}^n a_kz^k$ sea su $n-th$ Polinomio de Taylor centrado en $0$ y que $r_n=\sup \{|z|:p_n(z)=0\}$ . Demuestre que $\lim_{n\to\infty}r_n=\infty$

Mi pensamiento:

$\lim_{n\to\infty}p_n(z)=\lim_{n\to\infty}(z-a_1)(z-a_2)...(z-a_n)=f(z)$ entonces si $\lim_{n\to\infty}r_n\neq 0$ significa que los ceros de $f$ está limitada por un conjunto compacto, entonces ${z: f(z)=0}$ tiene un punto límite en $\mathbb{C}$ Así que $f\equiv 0$ lo que contradice $f$ es polinómica.

Siento que algo está mal en mi prueba anterior, pero no puedo decir qué es exactamente lo que no está bien.

¿Podría alguien ayudarme con esto? Muchas gracias.

Answer 1

Supongamos que todas las raíces de $p_n(z)$ son $z_1,z_2,\ldots,z_n$ . La fórmula de Vieta implica $$|z_1 z_2 \ldots z_n|=\left|\frac{a_0}{a_n}\right|$$ Así que $r_n\geq\sqrt[n]{|z_1 z_2\ldots z_n|}=\sqrt[n]{\left|\frac{a_0}{a_n}\right|}$ . Desde $f$ está entero, $\lim\sup\sqrt[n]{|a_n|}=0$ . La conclusión es la siguiente.