Hay infinitos muchos números cuando se agregan a Tres enteros distintos, lo que los hace relativamente primos por pares

Question

Dados$0<a<b<c$ tres enteros distintos, demuestre que existen infinitos muchos números$n$, de manera tal que$a+n,b+n,c+n$ son primos entre sí.

En el caso de que$(a,b)=(b,c)=(a,c)=1$, lo que significa que ya son primos relativos, la respuesta es fácil, encontré que$n= (c-b)(c-a)(b-a)k $ para$k \in \mathbb{N} $ funciona, por ejemplo,$gcd((c-b)(c-a)(b-a)k + a, (c-b)(c-a)(b-a)k +b) = (b-a,(c-b)(c-a)(b-a)k +a)= (b-a,a) = (b,a) = 1$

Y así por el resto.

Pero, ¿qué hacer cuando uno o más no son relativamente importantes?

¿Cómo resolverlo de forma más general?

Answer 1

Nota: esto no funciona con $4$ números. Por ejemplo, si usted comienza con $(2,3,4,5)$ entonces lo que usted agregue a cada término, dos de juego será incluso. Cualquiera que sea el argumento de una de las construcciones debe fallar si se intenta extender a $4$ términos.

Tu comentario demuestra que es suficiente para encontrar un solo ejemplo $n$.

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $a>b>c$.

Nota: si un prime $p$ divide $\gcd (a+n,b+n)$$p\,|\,a-b$.

Utilizar el Teorema del Resto Chino para resolver el sistema de congruencias $n\equiv 1-a\pmod {p_i}$ para cada uno de los números primos $p_i$, que se dividen $a-b$ o $a-c$, e $n\equiv 1-c\pmod {q_j}$ para cada uno de los números primos $q_j$, que se dividen $b-c$. Tenga en cuenta que si $p_i=q_j$ para algún par de $(i,j)$, a continuación, las congruencias son consistentes. (N. B. Esta es la parte que falla si usted extender a $4$ términos).

Pretendemos que $n$ obras.

En efecto, Si un prime $\psi$ divide $\gcd(a+n,b+n)$$\psi\,|\,a-b$, pero en ese caso $a+n\equiv 1 \pmod {\psi}$, una contradicción.