La extensión no ramificada es normal si tiene una extensión de clase de residuo normal

Question

Dejemos que $K/F$ sea una extensión no ramificada tal que $\rho_K / \rho_F$ (la correspondiente extensión de clases de residuos) es normal. Demostrar que $K/F$ es normal.

Supongo que tengo que hacer algún levantamiento polinómico, pero si tomamos $f(x)$ el polinomio mínimo de $\alpha \in K$ No podemos levantarlo para $\rho_F$ a menos que sus coeficientes estén en $O_{F} = \{x\in F : |x| \leq 1\}$ .

Answer 1

Supongo que $K$ y $F$ son campos completos de valor discreto y $K/F$ es finito separable. El término "no ramificado" significa la extensión del residuo $\rho_K/\rho_F$ es separable y si $\pi$ es un uniformizador de $\mathscr{O}_F$ también es un uniformizador de $\mathscr{O}_K$ . Así que $[K:F]=[\rho_K:\rho_F]$ . Sea $f$ sea una elevación mónica en $\mathscr{O}_F$ del polinomio mínimo para un generador $\bar{b}$ de $\rho_K$ en $\rho_F$ (que existe porque la extensión de los residuos es separable finita). Entonces $f$ es irreducible porque su reducción mod $\pi$ es. Porque $\bar{f}$ es separable, podemos levantar de forma única $\bar{b}$ a una raíz $b$ en $\mathscr{O}_K$ de $f$ por el lema de Hensel. Por lo tanto, tenemos un $F$ -inyección de álgebra $F[X]/(f(X))\hookrightarrow K$ enviando $X$ a $b$ . Esto debe ser un isomorfismo por conteo de dimensiones. Por el lema de Hensel, cada raíz de $\bar{f}$ en $\rho_K$ se eleva a una raíz (única) de $f$ en $\mathscr{O}_K$ . Por lo tanto, ya que $\bar{f}$ se divide en $\rho_K$ , $f$ se divide en $K$ . Así, $K$ es normal sobre $F$ .