Una función "casi no" en$L^1$

Question

Sea$f$ una función medible en un espacio de medida finito. Si$f \notin L^p$ para todos$p > 1$, ¿es cierto que$f \notin L^1$?

Desafortunadamente, la desigualdad que estoy usando para probar que$f \notin L^p$ no funciona para$p = 1$, pero espero algún tipo de argumento de "continuidad de la norma" en el que$\lVert f \rVert_1 = \lim_{p \to 1} \lVert f \rVert_p$ implicaría que$\lVert f \rVert_1 = \infty$, pero obviamente el argumento límite no está definido.

Answer 1

Deje$p_n = 1 + 1/n$ y deje$f_n \in L^1 \setminus L^{p_n}$,$f_n \geq 0$. Deje que$$f = \sum\limits_{n=1}^\infty {1 \over 2^n \|f_n\|_{L^1}} f_n.$$ Then $ f \ in L ^ 1$ by the monotone convergence theorem, but $ f \ notin L ^ {p_n}$ for any $ n $.

Answer 2

Un ejemplo explícito de una función en$L^1 ([0,\frac{1}{e}])$ para el que no está en$L^p$ para$p>1$:

PS