Esto era demasiado largo para hacer un comentario a EuYu del post. El crédito es para él (y Motzkin).
Estoy asumiendo que este es el resultado que ya sabemos: si $n$ puntos en el plano están dispuestas de tal manera que la línea no contiene exactamente dos de ellos, están en la misma línea.
La estrategia descrita en el documento de Motzkin es la siguiente: elige cualquiera de los puntos, decir $P$. Llamar a los otros puntos de $Q_i$. Aplicar una inversión con respecto a $P$ (en wikipedia si usted no sabe lo que es una inversión, y de cómo actúa sobre las líneas y los círculos). Digamos que el $Q_i$ asignado a $Q_i'$ por la inversión.
Porque no había un círculo que contiene todos los puntos originales, no hay línea que contiene todas las $Q_i'$'s. Esto significa que algunos de la línea de $l$ contiene exactamente dos $Q_i'$, decir $Q_1'$$Q_2'$. Esta línea de no pase a través de $P$, porque eso significaría que $Q_1$, $Q_2$ y $P$ están en la misma línea. Aplicar una inversión para el segundo tiempo, de nuevo con respecto a $P$ y el uso de la misma radio como antes). Ahora $Q_1'$ $Q_2'$ se asignan a $Q_1$ $Q_2$ respectivamente, y $l$ es asignado a un círculo que contiene precisamente $P$, $Q_1$ y $Q_2$.
Espero que esto ayude. Si no está claro, trate de experimentar un poco con las inversiones para tener una idea de sus propiedades.
Tenga en cuenta que podemos elegir el punto de $P$ al azar. Esto significa que en realidad han demostrado un mayor resultado: a través de cualquiera de las $n$ puntos hay un círculo que contiene exactamente tres de los puntos dados.
