Elegante prueba de$e^{nf}=\cosh(n)+\sinh(n)f$ donde$f^2=1$

Question

La siguiente transición aparece en varios textos de física, a menudo sin explicación, así que me preguntaba si hay una buena manera de probarlo:

Dado$n$ y$f$ tal que$f^2=1$, tenemos$$e^{nf}=\cosh(n)+\sinh(n)f$ $

Logré demostrarlo a través de la expansión de la serie, pero está lejos de ser elegante.

Intenté darle sentido a una forma diferente de verlo,$$e^{nf}=\frac {e^n+e^{-n}}2+\frac {e^n-e^{-n}}2f$ $

Pero todavía no lo veo.

¿Alguna idea?

Answer 1

$$\cosh(n)=\frac{e^n+e^{-n}}{2}$$ $$\sinh(n)=\frac{e^n-e^{-n}}{2}$$ Sólo hay 2 posibles $f$ valor, por lo que es fácil de comprobar por tanto, Vamos a empezar con $f=1$: $$\cosh(n)+\sinh(n)=\frac{e^n+e^{-n}}{2}+\frac{e^n-e^{-n}}{2}=2\frac{e^n}{2}+\frac{e^{-n}}{2}-\frac{e^{-n}}{2}=2\frac{e^n}{2}=e^{n}=e^{fn}=\cosh(n)+\sinh(n)f$$ Ahora $f=-1$: $$\cosh(n)-\sinh(n)=\frac{e^n+e^{-n}}{2}-\frac{e^n-e^{-n}}{2}=2\frac{e^{-n}}{2}+\frac{e^{n}}{2}-\frac{e^{n}}{2}=2\frac{e^{-n}}{2}=e^{-n}=e^{fn}=\cosh(n)+\sinh(n)f$$ Q. E. D.

Edit: he visto los comentarios sobre la posibilidad de una diferencia de $f$, por lo que estoy tratando de demostrar de un modo diferente. Vamos a examinar la relación de los dos lados. Si la derivada es $0$, entonces su relación es constante (suponiendo que la asociatividad, distributividad, conmutatividad): $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}\bigg(\frac{\cosh(n)+f\sinh(n)}{e^{fn}}\bigg)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}\bigg((\cosh(n)+f\sinh(n))e^{-fn}\bigg)=-fe^{-fn}(\cosh(n)+f\sinh(n))+e^{-fn}(\sinh(n)+f\cosh(n))=e^{-fn}(-f\cosh(n)+f\cosh(n)-f^2\sinh(n)+\sinh(n))=e^{-fn}\sinh(n)(1-f^2)=e^{-fn}\sinh(n)(0)=0$$ Ahora sustituye $n=0$ en la fracción para obtener su relación: $$\frac{\cosh(0)+f\sinh(0)}{e^{f0}}=\frac{1+0f}{1}=1$$ Por lo que el $2$ lados son iguales.
Q. E. D.