Recordar Dini del Teorema:
Deje $K$ ser un espacio métrico compacto. Deje $f:K\to \mathbb{R}$ ser una función continua y $f_{n}:K\to \mathbb{R}$, $n \in \mathbb{N}$ ser una secuencia de funciones continuas. Si $\{f_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}$ converge a $f$ e si $f_{n}(x)≥f_{n+1}(x)$ todos los $x\in K$ y todos los $n \in \mathbb{N}$, $\{f_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformemente a $f$.
Duda:
Tome $f_{n}:[0,\frac{1}{2}] \to \mathbb{R}$$f_{n}(x) = x^{n}$. Tenemos que $[0,\frac{1}{2}]$ es un conjunto compacto y $\{f_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}$ converge a $f = 0$ donde $f_{n}'s$ $f$ son continuos. Pero $\{f_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}$ no convergen uniformemente a $f$, (supongamos que $\{f_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformemente a $f=0$ y tome $\epsilon = \frac{1}{4}$, por lo que no existe $n_{0} >0$ tales que a $n > n_{0}$ implica que $|x^{n}| < \frac{1}{4}$. Tome $x = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{n}}$$\frac{1}{3} < \frac{1}{4}$ !!).
Donde me estoy perdiendo?
Gracias
