Encontrar una primera integral de un sistema de ED de primer orden

Question

Estoy tratando de mostrar que el sistema$$\frac{dx_1}{dt}=ax_1, \ \ \frac{dx_2}{dt}=-x_2$$ has a first integral of the form $$K(x_1,x_2)=\ln(f(x_1))+\ln(g(x_2))a$ $

Mi intento:

Usaré el siguiente método. $$\frac{dx_1}{dt}=ax_1\iff \frac{dx_1}{ax_1}=dt \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$ $$$\frac{dx_2}{dt}=-x_2\iff \frac{dx_2}{-x_2}=dt \ \ \ \ \ \ \ (2)$ $ Equivalente a$(1)$ y$(2)$ rendimientos \begin{align} \frac{dx_1}{ax_1}&=\frac{dx_2}{-x_2} \\ \frac{1}{a}\ln|x_1|&=-\ln|x_2|+C \\ \ln|x_1|+a\ln|x_2|&=0 \ \ \ \ \ (C=0) \end {align} No sé a dónde ir desde aquí. ¿Mi trabajo es correcto hasta ahora? Cualquier consejo sería muy apreciado.

Answer 1

Tu solución es correcta. En la línea antes del final, simplemente multiplique por$a$ y observe:

PS

PS

PS

PS

PS

que es de hecho una primera integral de la forma$$\frac{1}{a}\ln|x_1|=-\ln|x_2|+C \Leftrightarrow aC =\ln|x_1| + a\ln|x_2| $ con$$\implies$.