Elevación de la p-torsión de una curva elíptica supersingular.

Question

Sea $K$ sea una extensión finita de $\mathbf{Q}_p$ con anillo entero $R$ y campo de residuos $k$ . Diga $G/R$ es un esquema de grupo plano finito (conmutativo) de orden $p^2$ asesinado por $p$ . Digamos que la fibra especial de $G$ es isomorfo al $p$ -en una curva elíptica supersingular sobre $k$ . ¿Existe alguna extensión finita $L/K$ y una curva elíptica $E$ en $R_L$ los enteros de $L$ tal que $G$ es isomorfo a $E[p]$ en $R_L$ ?

La razón por la que pregunto es que en un lema de la tesis de Vincent Pilloni (que desgraciadamente no puedo encontrar en línea) demuestra que si la fibra especial de $G$ es como arriba entonces el "grado" de tal $G$ es 1 (véase el trabajo de Fargues sobre las filtraciones Harder-Narasimhan, por ejemplo, para la definición de "grado") mediante un cálculo de fuerza bruta. Sin embargo, la afirmación de Pilloni también sería una consecuencia de una respuesta afirmativa a mi pregunta (y proporcionó la motivación para mi pregunta). La gente es tan buena en teoría de la deformación de esquemas de grupos planos finitos hoy en día que pensé que esto podría ser bien conocido por algunas personas en la actualidad.

Answer 1

La respuesta es sí. La razón es la siguiente. Si $S$ es un esquema sobre p es localmente nilpotente, por definición (cf. tesis de Messing, capítulo I), un grupo truncado de Barsotti-Tate de escala $1$ en $S$ es un esquema de grupo finito localmente libre en $S$ anulado por $p$ tel que si $G_0$ es la reducción de $G$ modulo $p$ en ait $$ Im (F_{G_0}) = \ker (V_{G_0}) $$ como fppf vigas en $S_0$ , $S_0$ que denota la reducción del módulo $p$ de $S$ . Sin embargo, del criterio de planitud de fibra a fibra de EGA IV se deduce que el morfismo de $S_0$ -esquemas en grupos de presentación acabados $$ F:G_0 \rightarrow \ker (V_{G_0}) $$ es fielmente plana si y sólo si es la misma de fibra a fibra en $S_0$ . De ello se deduce que en la definición de a $BT_1$ on peut remplacer $S_0$ par $S_{red}$ ¡!

En las consideraciones anteriores he tomado un diagrama $S$ sobre el cual $p$ es localmente nilpotente, pero se deduce que tenemos el mismo tipo de definición-resultado sobre una base que es un esquema formal $p$ -adique.

Volvamos al tema que nos ocupa, es decir, a la pregunta de Kevin. Así que tenemos $G$ un esquema de grupo finito y plano sobre el anillo de enteros de $K$ cuya fibra especial en el cuerpo residual de $K$ est un $BT_1$ . El diagrama en grupos $G$ est donc un $BT_1$ .

Utilizaremos ahora el teorema siguiente (cf. la ponencia de Illusie en las Jornadas de Aritmética de Rennes: "Deformaciones de grupos Barsotti-Tate (según A. Grothendieck)", Asterisco 127). Si $\mathcal{BT}_1$ resp. $\mathcal{BT}$ denota el campo de los grupos truncados de Barsotti-Tate de escala $1$ grupos Barsotti-Tate, sobre bases que son esquemas sobre los cuales $p$ es localmente nilpotente, entonces el morfismo "puntos de $p$ -torsión"

$$ \mathcal{BT} \longrightarrow \mathcal{BT}_1 $$

es formalmente suave. De ello deducimos lo siguiente. Sea $k$ un cuerpo característico perfecto $p$ et $H$ un grupo $p$ -divisible sur $k$ . Soit $\mathfrak{X}$ el espacio de deformaciones de $H$ , un $spf (W(k))$ -schéma formel non-canoniquement isomorphe à $spf \big (W(k)[[x_1,\dots,x_{d(h-d)}]]\big )$ où $h$ es la altura de $H$ et $d$ sa dimensión. Soit $\mathcal{H}$ la déformation universelle sur $\mathfrak{X}$ . Alors, $\mathcal{H}[p]$ es una deformación versal de $H[p]$ .

Para concluir y responder a la pregunta de Kevin, basta ahora con invocar el teorema de Serre-Tate que demuestra que si $H=E[p^\infty]$ où $E$ es una curva elíptica supersingular en $k$ alors $\mathfrak{X}$ es también el espacio de deformación de $E$ . Aplicando el Teorema de Algebraización de Grothendieck (GAGF) deducimos que si $\mathfrak{X}= spf (R)$ la deformación universal de la curva elíptica $E$ en $\mathfrak{X}$ en realidad proviene de una curva elíptica en $spec (R)$ . El resultado se deduce por especialización en $\mathcal{O}_K$ .

¡¡¡¡¡¡¡¡P.D.: He leído las normas de este foro: no está escrito en ninguna parte que las preguntas y respuestas deban estar escritas en inglés !!!!!!!!

Answer 2

Esta es una traducción aproximada de Laurent F. de la respuesta (véase esta meta.MO hilo). Es el wiki de la comunidad, de modo que usted puede mejorar la traducción si tiene 100 rep.

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La respuesta es sí. La razón es la siguiente. Si $S$ es un esquema donde los $p$ a nivel local es nilpotent, entonces, por definición (cf. Messing de la tesis, el Capítulo I), un truncado Barsotti-Tate grupo de nivel de $1$ $S$ es finita localmente libre de esquema de grupo sobre $S$ aniquilado por $p$ que si $G_0$ denota la reducción de $G$ modulo $p$ hemos $$ Im (F_{G_0}) = \ker (V_{G_0}) $$ como fppf poleas en $S_0$, $S_0$ denota la reducción modulo $p$$S$. Sin embargo, se desprende de la fiberwise criterio de la planicidad de EGA IV [Ed: que significa EGA IV cor 11.3.11] que los morfismos de $S_0$-grupo de planes de finito de presentación $$ F:G_0 \rightarrow \ker (V_{G_0}) $$ es fielmente plano si y sólo si es fiberwise $S_0$. De esto podemos deducir que en la definición de una $BT_1$ nadie puede reemplazar a $S_0$$S_{red}$!

En las consideraciones anteriores, me tomó un esquema de $S$ donde $p$ a nivel local es nilpotent, se sigue que no tienen el mismo tipo de definición de resultados sobre una base que es un $p$-ádico esquema formal.

Ahora volvemos al tema, a saber, la cuestión de Kevin. Tenemos que $G$ es finita plana esquema de grupo por todo el anillo de enteros de $K$ cuya fibra especial sobre el residuo de campo de $K$$BT_1$. El esquema de grupo $G$ es por lo tanto una $BT_1$. [Ed: de hecho esta declaración ya implica Pilloni del resultado, por otros resultados en el anteriormente citado artículo de Illusie.]

Ahora usaremos el siguiente teorema (cf. el artículo de Illusie en Journees Arithmetiques de Rennes: "Déformations de groupes de Barsotti-Tate (d'après A. Grothendieck)", Astérisque 127). Si $\mathcal{BT}_1$, resp. $\mathcal{BT}$ denota la pila de truncado Barsotti-Tate grupos de nivel $1$, resp. de Barsotti-Tate grupos, sobre bases que son programas en los que $p$ a nivel local es nilpotent, a continuación, los morfismos de "puntos de $p$-torsión" $$ \mathcal{BT} \longrightarrow \mathcal{BT}_1 $$ es formalmente liso. De esto podemos deducir la siguiente. Deje $k$ ser un perfecto campo de la característica $p$ $H$ $p$- divisible grupo de más de $k$. Deje $\mathfrak{X}$ ser el espacio de deformaciones de $H$ $spf (W(k))$- esquema formal no canónicamente isomorfo a $spf \big(W(k)[[x_1,\dots,x_{d(h-d)}]]\big)$ donde $h$ denota la altura de $H$ $d$ dimensión. Deje $\mathcal{H}$ ser universal deformación de $\mathfrak{X}$. A continuación, $\mathcal{H}[p]$ es una deformación versal de $H[p]$.

Para concluir y responder a la pregunta de Kevin basta invocar el teorema de Serre-Tate, que muestra que si $H=E[p^\infty]$ donde $E$ es supersingular de curva elíptica sobre $k$ $\mathfrak{X}$ es el espacio de deformaciones de $E$. La aplicación de la algebraization teorema de Grothendieck (GAGF) podemos deducir que si $\mathfrak{X}=spf(R)$, el universal, la deformación de la curva elíptica $E$ $\mathfrak{X}$ se convierte en realidad en una curva elíptica sobre $spec(R)$. El resultado de la siguiente manera por la especialización a $\mathcal{O}_K$.