¿Cómo calcular el momento central absoluto de una distribución binomial?

Question

Hay un experimento. Se lanza la moneda $n$ veces con $p = 0.5$ . El experimento se repite $k$ tiempos. Necesito calcular el momento central medio.

Por ejemplo, dejemos que $n = 5$ y $k = 3$ .

$[0, 0, 1, 1, 0], sum = 2, abs(0.5 * n - sum) = 0.5;$

$[1, 1, 1, 0, 0], sum = 3, abs(0.5 * n - sum) = 0.5;$

$[0, 0, 0, 1, 0], sum = 1, abs(0.5 * n - sum) = 1.5;$

averageCentralMoment $= (0.5 + 0.5 + 1.5) / 3 = 0.83$

Sin embargo, si se repite el experimento muchas veces, el momento central es igual:

averageCentralMoment = $0.94$

¿Cómo puedo calcular el límite de Average Central Moment ¿sin simulación?

Answer 1

Por inducción en $m$ es sencillo demostrar que

$$\sum_{k=0}^m \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}(pn-k) = (m+1)\binom{n}{m+1}p^{m+1}(1-p)^{n-m}.$$

Para una variable binomial $X$ con parámetros $n$ y $p$ que modela la "suma" en la pregunta, la desviación media absoluta de la media $np$ es

$$\eqalign{ \mathbb{E}\left(|np - X|\right) &= \sum_{k=0}^{\lfloor np \rfloor}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}(np-k) - \sum_{k=\lfloor np \rfloor+1}^n\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}(np-k) \\ &= 2 (1-p)^{n-\lfloor n p\rfloor } p^{\lfloor n p\rfloor +1} (\lfloor n p\rfloor +1) \binom{n}{\lfloor n p\rfloor+1}, }$$

con el último paso que sigue a dos aplicaciones del primer resultado (junto con las identidades binomiales elementales). La notación " $\lfloor n p \rfloor$ "se refiere a la piso de $np$ --el mayor número entero menor o igual a $np$ .

Por ejemplo, con $n=5$ y $p=1/2$ como en la pregunta, esta fórmula da

$$2(1-1/2)^{5-2}(1/2)^3(2+1)\binom{5}{3} = \frac{15}{16} = 0.9375.$$