cómo probar $f(x)=x^2$ es uniformemente continua en una unión infinita de conjuntos cerrados

Question

Necesidad de probar que $f(x)=x^2$ es uniformemente continua en $\bigcup_ {n=1}^ \infty \left [n, n+ \frac1 {n^2} \right ]$

Sé que puedo probar que la f es uniformemente continua en $\left [n,n+ \frac {1}{n^2} \right ]$ pero no estoy seguro de que se aplique a esta unión infinita. Además esta unión es abierta, no cerrada, así que no es compacta, ¿verdad?

Answer 1

Vamos a definir $M_l:= \bigcup_ {n=1}^l \left [n, n+ \frac1 {n^2} \right ]$ y dejar $\varepsilon >0$ ser arbitrario. Desde $$\lim_ {n \to\infty }f(n+ \frac1 {n^2})-f(n) = \lim_ {n \to\infty } \frac2n + \frac1 {n^4}=0,$$ podemos elegir $k \in\Bbb N$ con $\varepsilon >f(n+ \frac1 {n^2})-f(n)>0$ para todos $n>k$ . Es fácil ver ahora que uno puede encontrar $\delta >0$ de tal manera que $|f(x)-f(y)|< \varepsilon$ para todos $|x-y|< \delta$ con $x,y \in M_ \infty\setminus M_k$ . (Esto se deriva de la monotonicidad de $f$ y el hecho de que los intervalos $\left [n, n+ \frac1 {n^2} \right ]$ no se acercan arbitrariamente el uno al otro). Desde $M_k$ es compacto y $f$ es continua, la restricción de $f$ a $M_k$ es uniformemente continua. Así, al encogerse (posiblemente) suficientemente $\delta$ podemos lograr $|f(x)-f(y)|< \varepsilon$ con $|x-y|< \delta$ y $x,y \in M_k$ . Ahora tenemos $f$ de manera uniforme en todo el conjunto $M_ \infty$ .