Cómo puedo solucionar $x^\sqrt{y} +y^\sqrt{x} =\dfrac{49}{48}$$\sqrt{x}+\sqrt{y} =\dfrac72$?

Question

He tratado de Wolfram Alpha y Mathematica para obtener la solución del siguiente sistema, pero sin resultado , he usado la variable de cambio $z=\sqrt{x}+\sqrt{y}$ para la simplificación, pero sin resultado , $$ \left\{ \begin{array}{ll} x^\sqrt{y} +y^\sqrt{x} &=\dfrac{49}{48} \\ \sqrt{x}+\sqrt{y} &=\dfrac72 \\ \end{array} \right. $$

Cómo puedo resolver esto?

Answer 1

Es la misma como la resolución de $a^{2b}+b^{2a}=\frac{49}{48}$ con las restricciones de $a,b\geq 0$$a+b=\frac{7}{2}$, por lo tanto se reduce a la búsqueda de soluciones de $$ g(a)\stackrel{\text{def}}{=}a^{7-a}+\left(\frac{7}{2}-a\right)^{2a}=\frac{49}{48} $$ en el intervalo de $\left[0,\frac{7}{2}\right]$. $g(a)\geq 2$ si $a\geq \frac{1}{3}$ $\left[0,\frac{1}{3}\right]$ la función de $g(a)$ está aumentando, por lo tanto no hay una única solución en un buen barrio de el origen. Mediante la aplicación de unos pasos del método de Newton con el punto de partida $\frac{1}{100}$ obtenemos $a\approx 0.00824505$ por lo tanto $x\approx 0.00006798$.

Answer 2

Haciendo lo mismo que Jack D'Aurizio (eliminando $y$ a partir de la segunda ecuación) y el uso de una expansión de Taylor alrededor de $x=0$, la primera ecuación es $$-\frac{1}{48}+\sqrt{x} \log \left(\frac{49}{4}\right)+x \left(\frac{1}{2} \log ^2\left(\frac{49}{4}\right)-\frac{4}{7}\right)+O\left(x^{3/2}\right)$$ la solución de los cuales se $$x=\frac{7}{96 \left(-2+343 \log ^2\left(\frac{7}{2}\right)+4 \log \left(\frac{7}{2}\right) \sqrt{7350 \log ^2\left(\frac{7}{2}\right)-84} \right)}\approx 0.0000679848$$ Usando esto como una suposición de arranque, Newton recorre sería $$\left( \begin{array}{cc} n & x_n \\ 0 & 0.000067984814185381173107 \\ 1 & 0.000067980800578179758426 \\ 2 & 0.000067980800636422696813 \\ 3 & 0.000067980800636422696826 \end{array} \right)$$, que es la solución para veinte cifras significativas.