Demostrar que $\xi \in \mathbb{C}$ es un número algebraico si y sólo si el conjunto de $\{1, \xi, \xi^2, \xi^3, \dots\}$ es linealmente dependiente sobre $\mathbb{Q}$.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Si el conjunto de $B = \{1,\xi,\xi^2,\xi^3,\dots\}$ $\Bbb Q$- linealmente dependientes, entonces hay algunas finito (!) $\Bbb Q$-combinación lineal:
$a_0 + a_1\xi + a_2\xi^2 +\cdots + a_n\xi^n = 0$, con el que no todos los $a_j = 0$.
Sin pérdida de generalidad, por la elección de $n$ el menor número natural tal que $\{1,\xi,\xi^2,\dots,\xi^n\}$ $\Bbb Q$- linealmente dependientes, podemos asegurar $a_n \neq 0$.
A continuación, $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n$ es un no-cero del polinomio en $\Bbb Q[x]$ tal que $f(\xi) = 0$, $\xi$ es algebraico sobre $\Bbb Q$.
Por otro lado, si $f(\xi) = 0$, para algunos no-cero del polinomio $f(x) = c_0 + c_1x + c_2x^2 + \cdots + c_nx^n \in \Bbb Q[x]$, se sigue que:
$0 = c_0 + c_1\xi + c_2\xi^2 + \cdots + c_n\xi^n$ es un no-cero combinación lineal de $\{1,\xi,\xi^2,\dots,\xi^n\}$, por lo que este conjunto es $\Bbb Q$-linealmente dependientes, y por lo tanto así es $B = \{\xi^k: k\in \Bbb N\}$ que la contiene.
leonardocavenaghi
Puntos
21
Un número $\alpha$ es algebraico sobre $F$ si, y sólo si, tiene una polinomial $f$$F[x]$, de tal forma que $f(\alpha) = 0$. En particular, fix $n$, y suponiendo que este conjunto es L. I. entonces la única solución para $a_0\xi + \ldots a_n\xi^n = 0$ $a_i = 0$ por cada $i = 0,1,\ldots,n.$ Lo que es contradictorio que una vez $\xi$ es algebraica y al menos una de estas coordenadas ha de ser no nulo. Ahora, sea f(x) es el polinomio de grado $n$ que ha $\xi$ como root. A continuación, $g(x) = f(x) + a_n\xi^{n+1}$ $\xi$ como root. Por el procedimiento de inducción de la demanda se mantiene.
