Definir $\Sigma X$ a ser el cociente del espacio de $[-1,1]\times X$ obtenido por la identificación de ${0}\times X$ ${1}\times X$ a dos puntos, respectivamente. Para cualquier homología de la teoría de la satisfacción de Eilenberg-Steenrod axiomas), soy capaz de encontrar un isomorfismo $\tilde H_i(X) \rightarrow \tilde H_{i+1}(\Sigma X)$ como sigue:
Denotar $C_+ X=[0,1]\times X /\tilde{}$$C_- X=[-1,0]\times X /\tilde{}$, entonces sabemos que ambos son contráctiles y $\Sigma X = C_+X \cup C_- X$. En primer lugar se considera la reducción de la homología de secuencia para el par $(\Sigma X, C_+ X)$: $$ 0=\tilde H_i(C_+ X) \a \tilde H_i(\Sigma X) \a H_i(\Sigma X,C_+ X) \a \tilde H_{i-1}(C_+ X)=0 $$ Por eso sabemos $$\tilde H_i(\Sigma X) \to^{\cong} H_i(\Sigma X,C_+ X)$$ is an isomorphism. Second, by considering the reduced homology sequence for the pair $(C_ - X, X)$(where X is identified with the quotient image of $\{0\}\veces X$), we can similarly get $$ H_i(C_-X,X)\a^{\cong} \tilde H_{i-1}(X) $$ Por último, el uso de la escisión axioma y homotopy axioma podemos demostrar que $$ H_i(C_-X,X) \cong H_i(\Sigma X,C_+ X) $$
Sin embargo, no tengo idea de cómo mostrar este isomorfismo es también "natural". Aquí "natural" significa que, si denotamos este isomorfismo por $\Phi: \tilde H_i(X) \to \tilde H_{i+1}(\Sigma X)$, entonces, para cualquier mapa de $f:X\to Y$ y su suspensión $\Sigma f: \Sigma X \to \Sigma Y$, $\Phi f_* = (\Sigma f)_* \Phi$.
