De la relación y de la teoría de números

Question

La pregunta va como sigue:

Deje $K$ ser un número de tres dígitos tales que la relación de la cantidad a la suma de sus dígitos es menos. ¿Cuál es la diferencia entre los cientos y los dígitos de las decenas de $K$?

Ahora yo era capaz de hacer esta pregunta por ensayo y error, suponiendo que la centésima parte de un dígito lugar a 1 y a la unidad, así como decenas de dígitos es 9

Por lo que el número es de 199, pero no soy capaz de hacerlo, lógicamente, alguna manera de hacerlo?

Answer 1

Hacerlo en una sola función, sólo por diversión:

Para $x \in \mathbb{Z}$ queremos minimizar la relación de $\frac{100a+10b+c}{a+b+c}$ donde $ a,b,c\in\mathbb{Z}$ $100a+10b+c=x$ podemos reescribir la relación: $$ f(x)=\frac{100\left\lfloor\frac{x}{100}\right\rfloor+10\left\lfloor\frac{x-100\left\lfloor\frac{x}{100}\right\rfloor}{10}\right\rfloor+\left\lfloor x-100\left\lfloor\frac{x}{100}\right\rfloor-10\left\lfloor\frac{x-100\left\lfloor\frac{x}{100}\right\rfloor}{10}\right\rfloor\right\rfloor}{\left\lfloor\frac{x}{100}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x-100\left\lfloor\frac{x}{100}\right\rfloor}{10}\right\rfloor+\left\lfloor x-100\left\lfloor\frac{x}{100}\right\rfloor-10\left\lfloor\frac{x-100\left\lfloor\frac{x}{100}\right\rfloor}{10}\right\rfloor\right\rfloor}$$ Que, cuando gráficamente, se tiene: en el que claramente se minimiza en la 199 (o 1-9 si el $x$ es permitido tener dos líderes de $0$s)

Answer 2

Queremos $a>0,b\geq 0,c\geq 0$, $a,b,c\leq 9$ s.t. $r = \frac{(100a+10b+c)}{(a+b+c)}$ es mínimo.

$r = 1 + \frac{(99a+9b)}{(a+b+c)}$.

Para un determinado$a$$b$, esto es menos cuando se $c$ es máxima, es decir,$9$.

Ahora, dada $c=9, r = 1 + \frac{(99a+9b)}{(a+b+9)} = 1 + 9 + \frac{(90a-9)}{(a+b+9)}$.

De nuevo, vemos que esto es menos dada la $a$ al $b$ es máxima, es decir,$9$.

Ahora bien, dado $b=c=9$,

$r = 10+\frac{(90a-9)}{(a+18)}$

$\frac{(r-10)}{9}=\frac{(10a-1)}{(a+18)}$

$= \frac{(10a+180-179)}{(a+18)}$

$= 10 - \frac{179}{(a+18)}$.

Claramente, este es menos cuando una tiene el menor valor posible, es decir, 1.